2022年考研《数学一》辅导试题及答案2

　　[单选题]设是某二阶常系数非齐次线性微分方程的解，则该方程的通解是()。

　　A

　　B

　　C

　　参考答案：A

　　[问答题]设连续函数f(x)非负，且，则在区间[0，2]上的平均值为______。

　　参考答案：2

　　[问答题]已知向量组A：α1=(0，1，2，3)T，α2=(3，0，1，2)T，α3=(2，3，0，1)T;B：β1=(2，1，1，2)T，β2=(0，-2，1，1)T，β3=(4，4，1，3)T。试证B组能由A组线性表示，但A组不能由B组线性表示。

　　参考答案：

　　[问答题]已知3阶矩阵A的第一行是(a，b，c)，a，b，c不全为零矩阵B=(k为常数)，且AB=O求线性方程组Ax=0的通解。

　　参考答案：由于AB=O，故r(A)+r(B)≤3，又由a，b，c不全为零，可知r(A)≥1。

　　当k≠9时，r(B)=2，于是r(A)=1;

　　当k=9时，r(B)=1，于是r(A)=1或r(A)=2。

　　对于k≠9，由AB=O可得

　　由于η1=(1，2，3)T，η2=(3，6，k)T线性无关。故η1，η2为Ax=0的一个基础解系，于是Ax=0的通解为

　　x=c1η1+c2η2，其中c1，c2为任意常数。

　　对于k=9，分别就r(A)=2和r(A)=1进行讨论。

　　如果r(A)=1，则Ax=0的基础解系由两个线性无关的解向量构成。又因为A的第一行为(a，b，c)且a，b，c不全为零，所以Ax=0等价于ax1+bx2+x3=0，不妨设a≠0，η3=(-b，a，0)T，η4=(-c，0，a)T是Ax=0的两个线性无关的解，故Ax=0的通解为

　　x=c4η3+c5η4，其中c4，c5为任意常数。

　　[问答题]设某种元件的使用寿命X的概率密度为：其中θ>0为未知参数X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，求θ的最大似然估计量，并讨论无偏性。 参考答案：设样本值为X1，X2，…，Xn，则似然函数为：