初中数学竞赛专题：奇数和偶数_第2页

　　2.与整除有关的问题

　　例4(首届"华罗庚金杯"决赛题)70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边两个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，….问最右边的一个数被6除余几?

　　解设70个数依次为a1,a2,a3据题意有

　　a1=0,偶

　　a2=1奇

　　a3=3a2-a1,奇

　　a4=3a3-a2,偶

　　a5=3a4-a3,奇

　　a6=3a5-a4,奇

　　………………

　　由此可知：

　　当n被3除余1时，an是偶数;

　　当n被3除余0时，或余2时，an是奇数，显然a70是3k+1型偶数，所以k必须是奇数，令k=2n+1，则

　　a70=3k+1=3(2n+1)+1=6n+4.

　　解设十位数，五个奇数位数字之和为a，五个偶数位之和为b(10≤a≤35,10≤b≤35)，则a+b=45，又十位数能被11整除，则a-b应为0，11，22(为什么?).由于a+b与a-b有相同的奇偶性，因此a-b=11即a=28，b=17.

　　要排最大的十位数，妨先排出前四位数9876，由于偶数位五个数字之和是17，现在8+6=14，偶数位其它三个数字之和只能是17-14=3，这三个数字只能是2，1，0.

　　故所求的十位数是9876524130.