初中数学竞赛专题：整数的整除性

　　1.整数的整除性的有关概念、性质

　　(1)整除的定义：对于两个整数a、d(d≠0)，若存在一个整数p，使得成立，则称d整除a，或a被d整除，记作d|a。

　　若d不能整除a，则记作da，如2|6，46。

　　(2)性质

　　1)若b|a，则b|(-a)，且对任意的非零整数m有bm|am

　　2)若a|b，b|a，则|a|=|b|;

　　3)若b|a，c|b，则c|a

　　4)若b|ac，而(a，b)=1((a，b)=1表示a、b互质，则b|c;

　　5)若b|ac，而b为质数，则b|a，或b|c;

　　6)若c|a，c|b，则c|(ma+nb)，其中m、n为任意整数(这一性质还可以推广到更多项的和)

　　例1(1987年北京初二数学竞赛题)x，y，z均为整数，若11|(7x+2y-5z)，求证：11|(3x-7y+12z)。

　　证明∵4(3x-7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z)

　　而11|11(3x-2y+3z),

　　且11|(7x+2y-5z),

　　∴11|4(3x-7y+12z)

　　又(11,4)=1

　　∴11|(3x-7y+12z).

　　2.整除性问题的证明方法

　　(1)利用数的整除性特征(见第二讲)

　　(2)利用连续整数之积的性质

　　①任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之一积，因此一定可被2整除。

　　②任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数，所以它们之积一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除。

　　这个性质可以推广到任意个整数连续之积。

　　例4一整数a若不能被2和3整除，则a2+23必能被24整除.

　　证明∵a2+23=(a2-1)+24，只需证a2-1可以被24整除即可.

　　∵2.∴a为奇数.设a=2k+1(k为整数),

　　则a2-1=(2k+1)2-1=4k2+4k=4k(k+1).

　　∵k、k+1为二个连续整数，故k(k+1)必能被2整除，

　　∴8|4k(k+1)，即8|(a2-1).

　　又∵(a-1)，a，(a+1)为三个连续整数，其积必被3整除，即3|a(a-1)(a+1)=a(a2-1)，

　　∵3a，∴3|(a2-1).3与8互质,∴24|(a2-1),即a2+23能被24整除.

　　(3)利用整数的奇偶性

　　下面我们应用第三讲介绍的整数奇偶性的有关知识来解几个整数问题.

　　例7(美国第4届数学邀请赛题)使n3+100能被n+10整除的正整数n的最大值是多少?

　　解n3+100=(n+10)(n2-10n+100)-900.

　　若n+100能被n+10整除,则900也能被n+10整除.而且,当n+10的值为最大时,相应地n的值为最大.因为900的最大因子是900.所以,n+10=900,n=890.

　　1.选择题

　　(1)(1987年上海初中数学竞赛题)若数n=20·30·40·50·60·70·80·90·100·110·120·130，则不是n的因数的最小质数是().

　　(A)19(B)17(C)13(D)非上述答案

　　(2)在整数0、1、2…、8、9中质数有x个，偶数有y个，完全平方数有z个，则x+y+z等于().

　　(A)14(B)13(C)12(D)11(E)10

　　(3)可除尽311+518的最小整数是().

　　(A)2(B)3(C)5(D)311+518(E)以上都不是

　　2.填空题

　　(1)(1973年加拿大数学竞赛题)把100000表示为两个整数的乘积，使其中没有一个是10的整倍数的表达式为__________.

　　(2)一个自然数与3的和是5的倍数,与3的差是6的倍数,这样的自然数中最小的是_________.

　　(3)(1989年全国初中联赛题)在十进制中,各位数码是0或1,并且能被225整除的最小自然数是________.