(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1，求Tn;
(3)令bn=(n≥2)，b1=3，Sn=b1+b2+…+bn，若Sn<对一切nN*成立，求最小正整数m.
[思路点拨] (1)由已知得an+1与an的关系从而获解;
(2)利用等差数列的性质及裂项相消法求解第(2)、(3)问.
[规范解答] (1)an+1=f==an+，
{an}是以为公差的等差数列.
又a1=1，an=n+.
(2)Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1
=a2(a1-a3)+a4(a3-a5)+…+a2n(a2n-1-a2n+1)
=-(a2+a4+…+a2n)
=-·=-(2n2+3n).
(3)当n≥2时，bn==
=，又b1=3=，Sn=b1+b2+…+bn
===.
Sn=<对一切nN*成立.
又=递增，且<.
≥，即m≥2 014.
最小正整数m=2 014.
【反思启迪】 1.本题中在求最小正整数m的值时，把问题转化为不等式恒成立问题，而Sn最值的求法使用了数列的单调性.
2.数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识点上交汇命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，因而一直成为高考命题的首选.
【变式训练3】 (2014·南京开学调研)已知无穷数列{an}中，a1，a2，…，am构成首项为2，公差为-2的等差数列，am+1，am+2，…，a2m，构成首项为，公比为的等比数列，其中m≥3，mN*.
(1)当1≤n≤2m，mN*时，求数列{an}的通项公式;
(2)若对任意的nN*，都有an+2m=an成立.
当a27=时，求m的值;
记数列{an}的前n项和为Sn.判断是否存在m，使得S4m+3≥2成立?若存在，求出m的值;若不存在，请说明理由.
[解] (1)当1≤n≤m时，由题意得an=-2n+4，
当m+1≤n≤2m时，由题意得an=n-m，
故数列{an}的通项公式为
an=
(2)-2n+4=无解，必不在等差数列内，
=6，
必在等比数列内，且等比数列部分至少有6项，则数列的一个周期至少有12项，
第27项只可能在数列的第一个周期或第二个周期内，
若1≤27≤2m时，a27=27-m=，得m=21，
若2m+1≤27≤4m，则a27=a27-2m=27-3m=，得m=7，
故m的值为7或21.
S2m=-m2+3m+1-，a1+a2+a3=S3=0，
S4m+2=2S2m+a1+a2+a3=2，
记f(m)=-m2+3m+1-，则f(m+1)-f(m)=2(1-m)+，
m≥3，f(m+1)-f(m)<0，即f(m+1)0，
|a1|+|a2|+…+|a10|
=-(a1+a2)+(a3+a4+…+a10)
=S10-2S2=66.
[答案] 66
解答题
9.(2013·湖北高考)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2+a3+a4=-18.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)是否存在正整数n，使得Sn≥2 013?若存在，求出符合条件的所有n的集合;若不存在，说明理由.
[解] (1)设等比数列{an}的公比为q，则a1≠0，q≠0.
由题意得
即
解得
故数列{an}的通项公式为an=3×(-2)n-1.
(2)由(1)有Sn==1-(-2)n.
假设存在n，使得Sn≥2 013，则1-(-2)n≥2 013，
即(-2)n≤-2 012.
当n为偶数时，(-2)n>0，上式不成立;
当n为奇数时，(-2)n=-2n≤-2 012，即2n≥2 012，
即n≥11.
综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为{n|n=2k+1，kN，k≥5}.
10.(2011·山东高考)等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 (1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足：bn=an+(-1)nln an，求数列{bn}的前n项和Sn.
[解] (1)当a1=3时，不合题意;
当a1=2时，当且仅当a2=6，a3=18时，符合题意;
当a1=10时，不合题意.
因此a1=2，a2=6，a3=18.
所以公比q=3，故an=2·3n-1.
(2)因为bn=an+(-1)nln an
=2·3n-1+(-1)nln(2·3n-1)
=2·3n-1+(-1)n[ln 2+(n-1)ln 3]
=2·3n-1+(-1)n(ln 2-ln 3)+(-1)nnln 3，
所以Sn=2(1+3+…+3n-1)+[-1+1-1+…+(-1)n]·(ln 2-ln 3)+[-1+2-3+…+(-1)nn]ln 3.
所以当n为偶数时，Sn=2×+ln 3=3n+ln 3-1;
当n为奇数时，Sn=2×-(ln 2-ln 3)+ln 3
=3n-ln 3-ln 2-1，
综上所述，Sn=
[B级 能力提升练]
一、填空题
1.(2014·苏中三市调研)在各项均为正数的等比数列{an}中，a2-a1=1.当a3取最小值时，数列{an}的通项公式an=________.
[解析] 依题设，a=a1a3，a2-a1=1，且an>0，
a3===a1++2≥4，
当且仅当a1=1时等号成立，此时a2=2，
因此an=2n-1.
[答案] 2n-1
2.(2014·无锡模拟)设1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________.
[解析] 由题意知a3=q，a5=q2，a7=q3且q≥1，
又a4=a2+1，a6=a2+2且a2≥1，
那么有q2≥2且q3≥3.
故q≥，即q的最小值为.
[答案]
