[B级 能力提升练]
一、填空题
1.(2014·盐城模拟)已知{an}是公差不为0的等差数列，{bn}是等比数列，其中a1=2，b1=1，a2=b2,2a4=b3，且存在常数α，β，使得an=logαbn+β对每一个正整数n恒成立，则αβ=________.
[解析] 由题意，可设an=2+(n-1)d，bn=qn-1，于是由得
d≠0，∴an=2n，bn=22n-2，
代入an=logαbn+β，即2n=(2n-2)logα2+β，
即2n(1-logα2)=β-2logα2，
解得故αβ=22=4.
[答案] 4
2.(2013·江苏高考)在正项等比数列{an}中，a5=，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+an>a1a2…an的最大正整数n的值为________.
[解析] 设{an}的公比为q(q>0)，
则由已知得
解得
于是a1+a2+…+an==(2n-1)，
a1a2…an=aq=n2.
由a1+a2+…+an>a1a2…an
得(2n-1)>n2，则2n-1>2n2-n+5 .
由2n>2n2-n+5，得n>n2-n+5，
n2-13n+10<0，
解得 验证当n=12时，满足a1+a2+…+an>a1a2…an.n≥13时，不满足a1+a2+…+an>a1a2…an.故n的最大值为12. [答案] 12 二、解答题 3.(2012·江苏高考)已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an+1=，nN*. (1)设bn+1=1+，nN*，求证：数列是等差数列; (2)设bn+1=·，nN*，且{an}是等比数列，求a1和b1的值. [解] (1)证明：由题设知an+1===， 所以=，从而2-2=1(nN*)， 所以数列是以1为公差的等差数列. (2)因为an>0，bn>0，所以≤a+b<(an+bn)2， 从而10知q>0.下证q=1. 若q>1，则a1=logq时，an+1=a1qn>，与(*)矛盾; 若0a2>1，故当n>logq时，an+1=a1qn<1，与(*)矛盾. 综上，q=1，故an=a1(nN*)，所以11，于是b10， 当n=1时，2a1=a1+，a1=， 当n≥2时，Sn=2an-，Sn-1=2an-1-， 两式相减得an=Sn-Sn-1=2an-2an-1，则=2， 数列{an}是以为首项，2为公比的等比数列， an=a1·2n-1=×2n-1=2n-2. (2)a=2-bn=22n-4，bn=4-2n，cn===， Tn=+++…++， Tn=++…++， ①-得Tn=4-8- =4-8·-=4-4-=， Tn=. 【反思启迪】 1.求数列的通项公式时，若数列的类型不知，应先根据条件判断数列的类型，或构造等差、等比数列. 2.用错位相减法求和时，一定要把错位相减后的式子写正确，以保证结果的正确性. 【变式训练2】 已知等比数列{an}的首项为1，公比q≠1，Sn为其前n项和，a1，a2，a3分别为某等差数列的第一、第二、第四项. (1)求an和Sn; (2)设bn=log2an+1，数列的前n项和为Tn，求证：Tn<. [解] (1)a1，a2，a3是等差数列的第一、第二、第四项， a3-a2=2(a2-a1)， a1q2-a1q=2(a1q-a1)， a1=1，q2-3q+2=0， q≠1，q=2， an=a1qn-1=2n-1， Sn===2n-1. (2)由(1)知an+1=2n，bn=log2an+1=log22n=n. ==. Tn=++++…+++ = =-<.类型3 数列与函数、不等式的综合应用 数列与函数、不等式的综合问题是近年高考的热点，常涉及数列的通项与前n项和问题，对于这种问题，在解答时需要利用化归的思想将问题转化为我们较熟悉的问题来解决，要掌握常见的解决不等式的方法，以便更好地解决问题.主要考查学生的推理论证能力和分析、解决问题的能力以及转化化归的思想和数学素养.
