[A级 基础达标练]
一、填空题
1.(2014·南通质检)已知数列{an}满足：a1=1，an>0，a-a=1(nN*)，那么使an<5成立的n的最大值________.
[解析] 由a-a=1(nN*)知，数列{a}是首项为1，公差为1的等差数列，则a=1+(n-1)×1=n.
由an<5得<5，n<25，则n的最大值为24.
[答案] 24
2.数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}中连续的三项，则数列{bn}的公比q=________.
[解析] 设数列{an}的公差为d(d≠0)，由a=a1a7得(a1+2d)2=a1(a1+6d)，解得a1=2d.
故数列{bn}的公比q====2.
[答案] 2
3.(2014·泰州模拟)设数列{an}是首项大于零的等比数列，则“a10，当a11.{an}为递增数列;若{an}为递增数列，则q>1，a10)，
若交换a，b，则b，b-d，b+d成等比数列，得(b-d)2=b(b+d)，解得d=3b，a=-2b，c=4b.
==10.
若交换a，c，则d=0(舍去).
若交换b，c也可得=10，综上，=10.
[答案] 10
7.从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒________次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.
[解析] 设倒n次后纯酒精与总溶液的体积比为an，
则an=n，由题意知n<10%，n≥4.
[答案] 4
8.已知数列{an}为等差数列，公差为d，若<-1，且它的前n项和Sn有最大值，则使得Sn<0的n的最小值为________.
[解析] 根据Sn有最大值知，d<0，则a10>a11，
由<-1知，a10>0>a11，
且a11<-a10即a10+a11<0，从而S19==19a10>0，
S20==10(a10+a11)<0，
则使Sn<0的n的最小值为20.
[答案] 20
二、解答题
9.(2013·天津高考)已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(nN*)，且-2S2，S3,4S4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明：Sn+≤(nN*).
[解] (1)设等比数列{an}的公比为q.
因为-2S2，S3,4S4成等差数列，
所以S3+2S2=4S4-S3，
即S4-S3=S2-S4，可得2a4=-a3，
于是q==-.
又因为a1=，所以等比数列{an}的通项公式为an=·n-1=(-1)n-1·.
(2)证明：Sn=1-n，Sn+=1-n+=
当n为奇数时，Sn+随n的增大而减小.
所以Sn+≤S1+=.
当n为偶数时，Sn+随n的增大而减小，
所以Sn+≤S2+=.
故对于nN*，有Sn+≤.
10.某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少.从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元;从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.
(1)求第n年初M的价值an的表达式;
(2)设An=，若An大于80万元，则M继续使用，否则需在第n年初对M更新.证明：需在第9年初对M更新.
[解] (1)当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为-10的等差数列，an=120-10(n-1)=130-10n.
当n≥7时，数列{an}是以a6为首项，公比为的等比数列，又a6=70，所以an=70×n-6.
因此，第n年初，M的价值an的表达式为
an=
(2)设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n≤6时，Sn=120n-5n(n-1)，An=120-5(n-1)=125-5n;
当n≥7时，由于S6=570，
故Sn=S6+(a7+a8+…+an)
=570+70××4×
=780-210×n-6.
An=.
因为{an}是递减数列，所以{An}是递减数列，
又A8==82>80，
A9==76<80，
所以需在第9年初对M更新.
