【典例2】 (2014·课标全国卷)已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2-5x+6=0的根.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
[解] (1)方程x2-5x+6=0的两根为2,3，
由题意得a2=2，a4=3.
设数列{an}的公差为d，则a4-a2=2d，故d=，
从而a1=.
所以{an}的通项公式为an=n+1.
(2)设的前n项和为Sn.由(1)知=，则
Sn=++…++，
Sn=++…++.
两式相减得
Sn=+-
=+-.
所以Sn=2-.
【变式训练2】 (2013·山东高考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1.
(1) 求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足++…+=1-，nN*，求{bn}的前n项和Tn.
[解] (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
由S4=4S2，a2n=2an+1，得
解得
因此an=2n-1，nN*.
(2)由已知++…+=1-，nN*，
当n=1时，=;
当n≥2时，=1--=.
所以=，nN*.
由(1)知an=2n-1，nN*，所以bn=，nN*.
所以Tn=+++…+，
Tn=++…++.
两式相减，得Tn=+-
=--，
所以Tn=3-.
【典例3】 (2013·江西高考)正项数列{an}的前n项和Sn满足：S-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)令bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的nN*，都有Tn<.
[思路点拨] (1)根据已知条件构造等价的关系式结合Sn与an的关系求解;(2)由(1)的结论先求出数列{bn}的通项公式，根据裂项求和法求出其前n项和，通过放缩法证明不等式.
[解] (1)由S-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0，
得[Sn-(n2+n)](Sn+1)=0.
由于数列{an}是正项数列，所以Sn>0，Sn=n2+n.
于是a1=S1=2，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.
综上可知，数列{an}的通项an=2n.
(2)证明：由于an=2n，bn=，
则bn==.
Tn=1-+-+-+…+-+-
=1+--<=.
