2015年四川中考数学考前必做专题试题—梯形_第5页

　　4. (2014•黑龙江龙东,第26题8分)已知△ABC中，M为BC的中点，直线m绕点A旋转，过B、M、C分别作BD⊥m于D，ME⊥m于E，CF⊥m于F.

　　(1)当直线m经过B点时，如图1，易证EM= CF.(不需证明)

　　(2)当直线m不经过B点，旋转到如图2、图3的位置时，线段BD、ME、CF之间有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明.

　　考点： 旋转的性质;全等三角形的判定与性质;梯形中位线定理..

　　分析： (1)利用垂直于同一直线的两条直线平行得出ME∥CF，进而利用中位线的性质得出即可;

　　(2)根据题意得出图2的结论为：ME= (BD+CF)，图3的结论为：ME= (CF﹣BD)，进而利用△DBM≌△KCM(ASA)，即可得出DB=CK DM=MK即可得出答案.

　　解答： 解：(1)如图1，

　　∵ME⊥m于E，CF⊥m于F，

　　∴ME∥CF，

　　∵M为BC的中点，

　　∴E为BF中点，

　　∴ME是△BFC的中位线，

　　∴EM= CF.

　　(2)图2的结论为：ME= (BD+CF)，

　　图3的结论为：ME= (CF﹣BD).

　　图2的结论证明如下：连接DM并延长交FC的延长线于K

　　又∵BD⊥m，CF⊥m

　　∴BD∥CF

　　∴∠DBM=∠KCM

　　在△DBM和△KCM中

　　∴△DBM≌△KCM(ASA)，

　　∴DB=CK DM=MK

　　由题意知：EM= FK，

　　∴ME= (CF+CK)= (CF+DB)

　　图3的结论证明如下：连接DM并延长交FC于K

　　又∵BD⊥m，CF⊥m

　　∴BD∥CF

　　∴∠MBD=∠KCM

　　在△DBM和△KCM中

　　∴△DBM≌△KCM(ASA)

　　∴DB=CK，DM=MK，

　　由题意知：EM= FK，

　　∴ME= (CF﹣CK)= (CF﹣DB).

　　点评： 此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△DBM≌△KCM(ASA)是解题关键.