考向3 直线方程的应用(高频考点)
命题视角 直线方程几乎每年都考，但一般不单独考查，在高考命题中，以与其他知识点结合的形式出现，主要命题角度有：(1)直线方程与直线位置关系;(2)直线方程与圆的方程;(3)直线方程与基本不等式;(4)直线方程与向量;(5)直线方程与函数;(6)直线方程与圆锥曲线.
【典例3】 (1)(2013·四川高考)在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，-1)的距离之和最小的点的坐标是________.
(2)已知直线l过点M(2,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点.当||·||取得最小值时，直线l的方程为________.
[思路点拨] (1)直线AC与直线BD的交点为所求.
(2)设直线l的方程为+=1(a>0，b>0)，则A(a,0)，B(0，b)且+=1，再由数量积坐标运算用a，b表示||·||，用基本不等式求最小值.
[解析] (1)直线AC方程为y=2x，直线BD方程为y=-x+6，两式联立解得x=2，y=4，直线AC与BD交点的坐标(2,4)即为所求.
(2)设A(a,0)，B(0，b)，则a>0，b>0，直线l的方程为+=1，所以+=1.故||·||=-·=-(a-2，-1)·(-2，b-1)=2(a-2)+b-1=2a+b-5=(2a+b)-5=+≥4，当且仅当a=b=3时取等号，此时直线l的方程为x+y-3=0.
[答案] (1)(2,4) (2)x+y-3=0,【通关锦囊】
1.利用直线方程解决问题，为简化运算可灵活选用直线方程的形式：一般地，已知一点通常选择点斜式;已知斜率选择斜截式或点斜式;已知截距选择截距式.
2.掌握几种常见求最值的方法(1)中求距离之和最小，使用的是平面几何的性质：两点之间线段最短，(2)中求||·||最小值，使用了基本不等式，(3)中求圆面积最大值，使用的是一次函数的单调性.
【变式训练3】 (1)(2014·四川高考改编)设mR，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x，y)，
图811
则|PA|+|PB|的取值范围是________.
(2)已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图811所示，求ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.
[解析] (1)
由消去m得2+2=，即P点轨迹是一个圆，如图，在P1处时，|PA|+|PB|最大为2，此时P1OAB，而当P与A或B重合时，|PA|+|PB|最小为.
[答案] [，2]
(2)法一：设直线l的方程为+=1(a>0，b>0)，则A(a，0)，B(0，b)，ABO的面积S=ab，
直线l过点P(3,2)，
+=1≥2，即ab≥24.
当且仅当=，即a=6，b=4时取等号.
S=ab≥12，当且仅当a=6，b=4时有最小值12.
此时直线l的方程为+=1，即2x+3y-12=0.
法二：设直线l的方程为y-2=k(x-3)(k<0).
令x=0，得y=2-3k;令y=0，得x=3-.
A，B(0,2-3k).
S△ABO=(2-3k)
=
≥
=×(12+12)=12.
当且仅当-9k=时，即k=-时，等号成立.
即ABO面积的最小值为12.
故所求直线的方程为2x+3y-12=0.
掌握1条规律 斜率k是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k=tan α.直线都有倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率.
熟记2种方法 求直线方程的方法
1.直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求
出直线方程. 2.待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件中构造关于待定系数的方程(组).求出待定系数，从而求出直线方程.
勿忘3点注意 1.求直线的倾斜角时要注意其范围. 2.应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在. 3.应用截距式方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0.
(见学生用书第162页)
思想方法之17联想斜率公式巧求函数值域
函数z=的值域为________.
[解析] 设=y，则有x2+y2=1(y≥0)，即点(x，y)为半圆x2+y2=1(y≥0)上的点，即z=.所以z可看成点(x，y)与点A(4,1)所在直线的斜率.
