[A级 基础达标练]
一、填空题
1.从装有3个白球,4个红球的箱子中,随机取出了3个球,恰好是2个白球,1个红球的概率是________.
[解析] 如果将白球视为合格品,红球视为不合格品,则这是一个超几何分布问题,故所求概率为P==.
[答案]
2.设ξ是一个离散型随机变量,其分布列为:
ξ -1 0 1 P 0.5 1-2q q2 则q=________.
[解析] 由分布列的性质得:
∴q=1-.
[答案] 1-
3.随机变量X的分布列如下:
X -1 0 1 P a b c 其中,a,b,c成等差数列,则P(|X|=1)=________.
[解析] 由题意知则2b=1-b,
则b=,a+c=,
所以P(|X|=1)=P(X=-1)+P(X=1)=a+c=.
[答案]
4.一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒子中任取3个球来用,用完即为旧,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,则P(X=4)的值为________.
[解析] 事件“X=4”表示取出的3个球有1个新球,2个旧球,故P(X=4)==.
[答案]
5.(2014·浙江高考)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ=0)=,E(ξ)=1,则D(ξ)=________.
[解析] 设P(ξ=1)=a,P(ξ=2)=b,
则解得
所以D(ξ)=+×0+×1=.
[答案]
6.设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,ξ=0;当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,ξ=1.则随机变量ξ的分布列是________.
[解析] 若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶点中的1个,过任意1个顶点恰有3条棱,所以共有8C对相交棱,因此P(ξ=0)===.
若两条棱平行,则它们的距离为1或,其中距离为的共有6对,
故P(ξ=)==,于是P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=)=,
所以随机变量ξ的分布列是
ξ 0 1 P(ξ) [答案]
ξ 0 1 P(ξ) 7.设随机变量X等可能取值1,2,3,…,n,如果P(X<4)=0.3,那么n=________.
[解析] 由于随机变量X等可能取1,2,3,…,n.
所以取到每个数的概率均为.
P(X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)==0.3,
n=10.
[答案] 10
8.(2013·上海高考)设非零常数d是等差数列x1,x2,x3,…,x19的公差,随机变量ξ等可能地取值x1,x2,x3,…,x19,则方差D(ξ)=________.
[解析] 由等差数列的性质,===x10,
D(ξ)=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x19-)2]
=d2(12+22+32+…+92)=30d2.
[答案] 30d2
二、解答题
9.(2014·连云港检测)设10件同类型的零件中有2件不合格品,从所有零件中依次不放回地取出3件,以X表示取出的3件中不合格品的件数.
(1)求“第一次取得正品且第二次取得次品”的概率;
(2)求X的概率分布和数学期望E(X).
[解] (1)“第一次取得正品且第二次取得次品”记为事件A.
则P(A)===.
(2)X的所有可能取值为0,1,2,则
P(X=0)==;
P(X=1)==;
P(X=2)==.
故X的概率分布为
X 0 1 2 P 数学期望E(X)=0×+1×+2×=.
10.某市为提高驾驶员的安全责任意识,特举办了一场“交通运输安全知识竞赛”,此次比赛分初赛、复赛、决赛三个关卡,每场比赛后都有一场复活赛,只有当该场比赛或该场比赛的复活赛过关才可以参加下一场比赛,三个关卡均通过即可获得奖品.已知王某通过初赛及其复活赛的概率均为,通过复赛及其复活赛的概率均为,通过决赛及其复活赛的概率均为,且每场比赛或其复活赛过关与否互不影响.
(1)求王某不需要参加复活赛就可获得奖品的概率;
(2)若王某不放弃所有比赛机会,记ξ为参加比赛的次数,求ξ的分布列与数学期望.
[解] (1)设“初赛一次过关”为事件A1;“需参加初赛的复活赛才能过关”为事件A2;
“复赛一次过关”为事件B1;“需参加复赛的复活赛才能过关”为事件B2;
“决赛一次过关”为事件C1;“需参加决赛的复活赛才能过关”为事件C2;
则A1、A2、B1、B2、C1、C2相互独立.
所以王某不需要参加复活赛就可获得奖品的概率为
P=P(A1B1C1)=P(A1)·P(B1)·P(C1)=××=.
(2)ξ的所有可能取值为2,3,4,5,6,
P(ξ=2)=P( )=×=,
P(ξ=3)=P(A1B1C1+A1 )=××+××=,
P(ξ=4)=P(A1B2C1+A1B1 +A1B1C2+A2 +A2B1C1)=×××+×××+×××+×××+×××=,
P(ξ=5)=P(A1B2C2+A1B2 +A2B2C1+A2B1 +A2B1C2)
=××××+××××+××××+××××+×××=,
P(ξ=6)=P(A2B2 +A2B2C2)=×××××+××××=,
ξ的分布列为
ξ 2 3 4 5 6 P E(ξ)=2×+3×+4×+5×+6×===.
[B级 能力提升练]
一、填空题
1.设随机变量X的概率分布列如下表所示:
X 0 1 2 P a F(x)=P(X≤x),则当x的取值范围是[1,2)时,F(x)等于________.
[解析] a++=1,a=,
x∈[1,2),F(x)=P(X≤x)=+=.
[答案]
2.罐中有6个红球,4个白球,从中任取1球,记住颜色后再放回,连续摸取4次,设ξ为取得红球的次数,则ξ的期望E(ξ)=________.
[解析] 因为是有放回地摸球,所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为,连续摸4次(做4次试验),ξ为取得红球(成功)的次数,则ξ~B,
从而有E(ξ)=np=4×=.
[答案]
二、解答题
3.(2014·苏州质检)从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中,每摸出2个球为一次试验,直到摸出的球中有红球(不放回),则试验结束.
(1)求第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球的概率;
(2)记试验次数为X,求X的分布列及数学期望E(X).
[解] (1)记“第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球”为事件A,则P(A)==.
(2)由题知X的可能取值为1,2,3,4,则
P(X=1)==,P(X=2)=·=,P(X=3)=··=,P(X=4)=···=.
故X的分布列为
X 1 2 3 4 P E(X)=1×+2×+3×+4×=.