1.数学归纳法在证明与正整数n有关的等式、不等式、整除问题及数列问题中有广泛的应用.
2.在证明n=k+1时的命题中，怎样变形使之出现n=k时的命题的形式是解决问题的关键，要找清n=k+1时式子结构或几何量的改变.知识梳理
1.某些与正整数n有关
2.(1)验证：n=1时，命题成立 (2)当n=k+1时，命题成立 一切正整数n
作业设计
1.C [当n=1时，an+1=a2.
等号左边的项是1+a+a2.]
2.C [当n取1、2、3、4时2n>n2+1不成立，当n=5时，25=32>52+1=26，第一个能使2n>n2+1的n值为5.]
3.C [观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f(2k)=1++…+，
而f(2k+1)=1++…++++…+.
因此f(2k+1)比f(2k)多了2k项.]
4.B [当n=k时左端为(k+1)(k+2)·…·(k+k)，当n=k+1时，左端为(k+2)(k+3)…(k+1+k-1)·(k+1+k)(k+1+k+1)，即(k+2)(k+3)…(k+k)·(2k+1)(2k+2).
观察比较它们的变化知增乘了=2(2k+1).]
5.B [因n为正奇数，所以否定C、D项;当k=1时，2k-1=1,2k+1=3，故选B.]
6.C [当n=k时，左边=++…+.
当n=k+1时，左边=++…+=++…++.]
7.(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2
8.没有用到归纳假设，不是数学归纳法
9.Sn=
解析 S1=1，S2=，S3==，S4=，猜想Sn=.
10.证明 当n=1时，21+2=4>n2=1，
当n=2时，22+2=6>n2=4，
当n=3时，23+2=10>n2=9，
当n=4时，24+2=18>n2=16，
由此可以猜想，
2n+2>n2 (nN+)成立.
下面用数学归纳法证明：
当n=1时，左边=21+2=4，右边=1，
所以左边>右边，所以原不等式成立.
当n=2时，左边=22+2=6，
右边=22=4，所以左边>右边;
当n=3时，左边=23+2=10，右边=32=9，
所以左边>右边.
假设n=k时(k≥3且kN+)时，不等式成立，
即2k+2>k2，那么n=k+1时，
2k+1+2=2·2k+2=2(2k+2)-2>2k2-2.
要证当n=k+1时结论成立，
只需证2k2-2≥(k+1)2，
即证k2-2k-3≥0，
即证(k+1)(k-3)≥0.
又k+1>0，k-3≥0，
(k+1)(k-3)≥0.
所以当n=k+1时，结论成立.
由可知，nN+，2n+2>n2.
11.解 (1)a2===，a3===.
(2)猜想an=，下面用数学归纳法证明此结论正确.
证明：当n=1时，结论显然成立.
假设当n=k(kN+)时，结论成立，即ak=，
那么ak+1====.
也就是说，当n=k+1时结论成立.
根据可知，结论对任意正整数n都成立，
即an=.
12.解 f(1)=36，f(2)=108=3×36，f(3)=360=10×36，
f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.
证明：n=1,2时，由上得证，假设n=k(kN+，k≥2)时，f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，
则n=k+1时，
f(k+1)-f(k)=(2k+9)·3k+1-(2k+7)·3k
=(6k+27)·3k-(2k+7)·3k
=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k-2(k≥2).
f(k+1)能被36整除.
因此，对任意nN+，f(n)都能被36整除.
又f(1)不能被大于36的数整除，
所求最大的m值等于36.
13.(1)解 由题意：Sn=bn+r，
当n≥2时，Sn-1=bn-1+r.
所以an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1)，
由于b>0且b≠1，
所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列.
又a1=b+r，a2=b(b-1)，
=b，即=b，解得r=-1.
(2)证明 当b=2时，由(1)知an=2n-1，
因此bn=2n(n∈N+)，
所证不等式为··…·>.
当n=1时，左式=，右式=.
左式>右式，所以结论成立，
假设n=k(kN+)时结论成立，
即··…·>，
则当n=k+1时，
··…·>·=.
要证当n=k+1时结论成立，
只需证≥，
即证≥，
由基本不等式=≥成立，
故≥成立，
所以当n=k+1时，结论成立.
由可知，nN+时，不等式··…·>成立.
