一、选择题
1.函数y=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知函数f(x)在x=1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为( )
A.f(x)=(x-1)3+3(x-1)
B.f(x)=2(x-1)
C.f(x)=2(x-1)2
D.f(x)=(x-1)
3.已知对任意实数x，有f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)，且x>0时f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时( )
A.f′(x)>0，g′(x)>0B.f′(x)>0，g′(x)<0
C.f′(x)<0，g′(x)>0D.f′(x)<0，g′(x)<0
4.函数y=sin(4x+5)的导数是( )
A.y′=cos(4x+5) B.y′=4cos(4x+5)
C.y′=4sin(4x+5) D.y′=-4cos(4x+5)
5.函数y=(3x-6)5的导数是( )
A.y′=5(3x-6)4 B.y′=15(3x-6)4
C.y′=5(3x)4 D.y′=-15(3x-6)4
6.函数y=(2 010-8x)8的导数为( )
A.8(2 010-8x)7B.-64x
C.64(8x-2 010)7D.64(2 010-8x)7
二、填空题
7.已知函数y=f(x)的导数为f′(x)=2x，则函数y=f(2x-1)的导数是__________.
8.函数y=cos在点P处的切线斜率为________.
9.函数y=log3(2x2+1)的导数是______________.
三、解答题
10.求下列函数的导数.
(1)y=sin 2x; (2)y=(sin x+1)2.
11.求过点P(-1,2)且与曲线y=3x2-4e-x+1-2在点M(1，-3)处的切线平行的直线方程.
能力提升
12.曲线y=(2x-2)3在点(2,8)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为多少?
13.求函数y=ln(2x-1)上的点到直线l：2x-y+3=0的最短距离.
1.复合函数求导的关键是选择好中间变量，然后按公式求导.
2.利用复合函数的导数，可以解决曲线的切线等数学问题.作业设计
1.D [y′=[(x+1)2]′(x-1)+(x+1)2(x-1)′
=2(x+1)(x-1)+(x+1)2=3x2+2x-1，
y′|x=1=4.]
2.A [显然选项B、C、D不符合题意，对于选项A，
f(x)=(x-1)3+3(x-1)，
因为f′(x)=3(x-1)2+3，所以f′(1)=3.]
3.B [当x<0时，-x>0，因为f(x)=-f(-x)，g(x)=g(-x)，所以，f′(x)=[-f(-x)]′=f′(-x)>0，g′(x)=[g(-x)]′=-g′(-x)<0.]
4.B [函数可以看作是y=sin u和u=4x+5的复合，所以y′=(sin u)′(4x+5)′=4cos(4x+5).]
5.B [函数可以看作是y=u5和u=3x-6的复合，所以y′=(u5)′(3x-6)′=15(3x-6)4.]
6.C [y′=[(2 010-8x)8]′
=8(2 010-8x)7·(2 010-8x)′
=-64(2 010-8x)7
=64(8x-2 010)7.]
7.8x-4
解析 令u=2x-1，f(2x-1)=f′(u)(2x-1)′
=2u·2=4(2x-1)=8x-4.
8.0
解析 y′=′=-2sin，
x=时，y′=-2sin=0.
9.
解析 令y=log3u，u=2x2+1，
则y′=(log3u)′(2x2+1)′
=·(4x)=.
10.解 (1)引入中间变量u=φ(x)=2x，
则函数y=sin 2x是由函数f(u)=sin u和u=φ(x)=2x复合而成，因f′(u)=cos u，
u′=φ′(x)=2，由复合函数求导法则可得，
y′=(sin 2x)′=f′(u)φ′(x)=2cos 2x.
(2)引入中间变量u=φ(x)=sin x+1，
则函数y=(sin x+1)2是由函数f(u)=u2和u=φ(x)=sin x+1复合而成，因f′(u)=2u，u′=φ′(x)=cos x，由复合函数求导法则可得y′=[sin x+1)2]′=f′(u)φ′(x)=2(sin x+1)cos x.
11.解 因为y′=(3x2-4e-x+1-2)′=6x+4e-x+1，
所以过点(1，-3)切线的斜率为k=y′=6+4=10，
所以过P(-1,2)与切线平行的直线方程为y-2=10(x+1)，即y=10x+12.
12.解 因为f′(x)=′=6(2x-2)2，
所以f′(2)=6(4-2)2=24，
曲线在(2,8)处的切线方程为y-8=24(x-2)，
切线与x轴的交点为.
所以，三角形面积为·8=.
13.解 因为y=ln(2x-1)可看成y=ln u和u=2x-1的复合函数，所以
y′=[ln(2x-1)]′=(ln u)′(2x-1)′=·2=，
设切点坐标P(x0，y0)，根据导数的几何意义，
则有=2，
所以x0=1，y0=ln(2x0-1)=0，
所以切点为P(1,0)，
故所求的最短距离d==.
