2019年证券分析师考试复习讲义：第四章

　　第四章 数理方法

　　第一部分 概率基础

　　一、概率与随机变量的含义、计算和原理

　　1、事件和概率

　　随机试验：进行试验时，会出现什么结果，是不确定的。

　　样本点：每一种可能的结果。

　　样本空间：全体样本点集合。

　　(扑克牌数字、花色)

　　事件：样本空间(可测)子集。

　　2、集合、事件与概率

　　概率：对某个事件发生可能性的度量。

　　最基础的事件运算：子事件、事件并(和)、事件交(积)、事件补(余事件)。

　　(1)概率主观定义。依据各自的经验和自信，对于事件A发生的可能性有不同的看法，分别给出的估计概率。

　　(2)概率的公理化定义。

　　样本空间s上的概率测度P满足以下概率公理：

　　①对于任意的事件A 属于S，0≤P(A)≤1，表示一个事件的概率必定在0和1之间;

　　②P(S)=1，表示样本空间s包含所有可能的结果，事件s的概率应该为1;

　　③如果对于任意的i≠j，Ai∩Aj=Φ(空集)

　　那么P(A1 ∪A2∪…)=P(A1)+ P(A2)+…，表示如果事件A和事件B不相交，那么它们并集的概率等于两个事件概率和。(和的概率等于概率之和)

　　3、条件概率与事件独立。

　　在给定事件B已经发生的条件下事件A发生的概率记为P(A / B)。

　　如果说事件A和事件B是相互独立的，则

　　P(A/B)=P(A)，表示事件B的发生对事件A发生的机会不产生任何影响。

　　如果P(A∩B)=P(A/B)P(B)=P(A)P(B)，我们说事件A和事件B是相互独立的。否则，我们说事件A和事件B是相互依赖的。

　　例题：考虑掷骰子的试验。样本空间S是六个样本点，出现点数为1的概率，记为集合A={1}，则P(A)=1/6。但是，如果考虑奇数点出现的条件下点数1出现的概率，则在给定信息影响下，使得样本空间从S={1，2，3，4，5，6}缩小到B={1，3，5}，此条件概率记为P(A丨B)=1/3。

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　　4、随机变量和概率分布

　　随机变量：是从样本空间到实数集的一个函数，一般用大写字母表示，它的取值用小写字母表示。(取值随机会而定的变量)

　　(1)离散随机变量及其概率分布函数。设随机变量X取值为有限个或者可数多个值，则：

　　P(X=xi)=pi i=i，2，…，n

　　称为随机变量X的(概率)分布。

　　(2)连续随机变量与概率密度函数。

　　概率分布函数：随机变量取值范围在一个区间或者整个实数轴。

　　设X是随机变量，其值小于等于x的事件{X≤x}发生概率用F(x)表示，我们称F(x)=P(X≤x)为随机变量X的分布函数。某个连续的随机变量X的概率密度函数满足的三条性质：

　　1)对于所有的x∈R，有f(x)≥0;

　　5、常用分布。在金融模型中，常见的分布包括二项分布、正态分布、对数正态分布、t分布和F分布。

　　(1)二项式分布。B(n，P)。其中n和P是两个参数， n是正整数，0≤p≤1。

　　考虑一个仅有两个结果的试验，比如价格上涨或下跌，随机变量X的值为0或1。随机变量X服从贝努利分布的假设为 P(X=1)=p，P(X=0)=1-p，这里0≤p≤1

　　如果X1，X2，...，Xn是相互独立，且服从贝努利分布，那么是一个取值为0，1，2，…，n的离散的随机变量。

　　6、随机变量的数字特征(随机变量的矩)

　　(1)数学期望。一般地，如果X是一个离散的随机变量，它的分布为

　　P(X=xi)=pi,i=1,2,…n…,它的期望值为

　　即是X的期望值是它的所有可能的取值的加权平均，其权数是它取该值的概率。

　　(3)方差(二阶中心距)与标准差。

　　如果r=2，E[(X-μ)2]被称为X的分布的方差或 x的方差。常常记它为σ2或var(X)。

　　σ2的正平方根σ被称为x的标准差，反映了随机变量波动程度的量(衡量风险的大小)。关于方差，常用公式：

　　(4)偏度与峰度。

　　1)偏度。使用3阶中心矩度量X关于其均值的对称性衡量分布是否有偏(用来描述随机变量的对称程度)

　　如果X的概率密度函数关于期望值是对称的，比如正态分布，μ3=E[X—E(X)]3=0是无偏的 ,对于u3>0，说明分布是正偏或者右偏，反之为负偏或者左偏。

　　偏度系数：

　　负的偏度系数，揭示了分布有很长的左尾(概率)，反映了出现大负值的概率高。如果组合资产的收益率分布是负(左)偏的，则出现巨额损失的概率增加。

　　2)峰度

　　常使用4阶中心矩用于度量X的尾部特性，也衡量分布在均值附近的陡峭程度，如果x取值在概率上集中在均值附近，则u4 将倾向于小，否则就倾向于大。

　　峰度系数为β2=u4/u22

　　超额峰度 =β2-3

　　正态分布的峰度=3

　　正态随机变量的超额峰度=0。

　　厚尾：分布有正的超额峰度(峰度>3)，意味着来自于这样一个分布的随机样本会有更多的极端值，故称这样的分布为尖峰的。

　　轻尾：具有负的超额峰度的分布(峰度<3)，也称为低峰的。

　　(5)契比雪夫定理(不等式)。

　　随机变量和它的均值的差的绝对值超过它的标准差K倍的概率小于1/K2

　　该定理给出了任一随机变量取值的界限。在判断程序化投机(趋势)交易或者价差(套利)交易中触发条件的发生概率较为有效。

　　例题：下列关于正态分布的结论哪个是不正确的?

　　A.峰度为3.

　　B.偏度为1.

　　C.整个分布特性可由均值和方差描述。

　　D.正态分布的密度函数表示如下：

　　答案：B

　　二、多元分布函数及其数字特征

　　(用于分析组合资产的收益率)

　　1、 多元分布函数

　　联合累计分布函数：

　　X和Y是相互独立的，当且仅当：f(x,y)=g(x)h(y)

　　2、多元分布函数的数字特征

　　(1)协方差。(X,Y的二阶混合中心距)

　　σXY，或COV(X,Y)

　　σXY=E[(X-EX)(Y-EY)]=E[XY]-E[X]E[Y]

　　是XY之间相关性的一个测度。如果X和Y是相互独立的，那么cov(X，Y)=0。

　　(2)相关关系。

　　PXY的取值一定在-1和1之间。如果X和Y是相互独立的，那么PXY=0。相关系数是在计量经济学中使用回归分析技术时必须使用的工具。

　　(3)协方差矩阵。

　　描述多元随机变量。一个随机向量的期望值等于它的各个分量的期望值组成的向量。

　　随机向量X的协方差矩阵如下：

　　例题：给定随机变量X、Y，常数a、b、c、d，下列哪个结论是错误的。

　　A.若x和Y是相关的，则E(ax+by+c)=aE(x)+bE(y)+c

　　B.若x和Y是相关的，则Var(ax+by+c)=Var(ax+by)+c

　　C.若x和Y是相关的，则Cov(ax+by,cx+dy)=acVar(X)+bdVar(Y)+(ad+bc)Cov(x，Y)

　　D.若x和Y是不相关的，则Var(x-y)=Var(x+y)

　　=Var(x)+Var(y)

　　答案：B Var(ax+by+c)=Var(ax十by)= 2a Var(x)+ 2b VAR(y)+ 2ab Cov(x,y)。

　　解析：

　　Var(x+y)=Var(x)+Var(y)+2Cov(x，y)

　　Var(x-y)=Var(x)+Var(y)-2Cov(x，y)

　　x和Y是不相关的，Cov(x，y)=0，所以两者相等。

　　三、随机变量的函数

　　1、随机变量的线性组合。

　　对于以人民币计价的投资组合中现金为1 000万元，组合中美元资产为1 000万美元，美元汇率为X，其均值为0.01，标准差为0.001，这个组合可以被表示为Y=a+bX，其期望、方差和标准差分别为：

　　E(a+bX)=a+bE(X)，

　　var(a+bX)=b2var(X)，

　　y的均值：E(Y)=E(1+1 000X)

　　=1+1 000×0.01=11

　　y的标准差=1 000×0.001=1

　　随机变量线性组合的方差：

　　2、随机变量的加权和

　　如果a'=(a1, a2,..., an)是常数向量，那么有：

　　如果a是资产组合的权重，μ是资产组合收益率，σ是资产组合波动率，上述结果就是资产组合收益率的期望和方差的计算公式，可用于计算组合风险价值。

　　3、随机变量的积

　　随机变量乘积Y=X1Y2，其期望为：

　　E(X1X2)=E(X1)E(X2)+Cov(X1，X2)

　　当这些变量相互独立时，乘积期望就是均值的积。

　　4、随机变量变换(函数)的分布。

　　假设X是一个连续随机变量，概率密度函数为f(x)，g(x)是一个单调函数，那么Y=g(X)是一个新的随机变量。我们把x表述成y的函数为X=W(y)，那么y的概率密度函数 h(y)为：

　　四、对数正态分布等统计分布的特征和计算

　　(用于进行高频金融数据的分析)

　　1、对数正态分布与三大统计分布

　　(1)对数正态分布。 (期权定价模型)

　　如果一个随机变量x的对数形式Y=ln(X)是正态分布，则可以称这一变量服从对数正态分布。

　　如果资产的对数收益率是独立同分布，且都正态分布，那么在此假定下，简单收益率是独立同分布的对数正态分布的随机变量，均值和方差分别为：

　　反之，假设简单收益率Rt服从对数正态分布，均值为m1，方差为m2，则对应的对数收益率rt的均值和方差分别为：

　　(2)卡方(χ2)分布。

　　一个标准正态随机变量的平方服从自由度为1的χ2分布。即如果Z~N(0,1)，那么Z2~ χ2(1)。如果Z1，Z2，…，Zn是相互独立的标准正态分布，那么

　　F的概率密度函数可通过变量替换方法得到，它是非负的，且偏向右边凸起。

　　例题：有着相同均值和标准差的正态分布和t分布，下列哪个结论正确?

　　A.它们有着相同的峰度

　　B.t分布有着更大的峰度

　　C.随着自由度增加，t分布的峰度逐渐收敛到正态分布峰度

　　D.当自由度相对较小的时候，对t分布而言，正态分布是一个较好的近似估计

　　答案：C

　　2、尾概率分布特点

　　极值理论(EVT)——x超过某个阀值点U的极限分布服从以下分布族：

　　F(y)=1-exp(-y)，ξ=0

　　当y=(x-u)/β时。简单而言就是通过刻度(Scale)参数β和形状(Shape)参数ξ确定，其中参数ξ决定了尾概率中尾巴趋于零(消失)的速度。

　　正态分布对应于ξ=0，则尾巴概率以指数速度消失(趋于0)。但是，经典的金融数据，基本都有ξ>0，这就是著名的厚尾(肥尾或者重尾)现象。

　　极值理论在风险管理(即VaR，Value at Risk 风险价值)中具有非常重要的影响。