题型一 平面向量数量积的基本运算
例1 已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为切点，那么·的最小值为________.
破题切入点 对于四边形OAPB中变化的量，可以是切线的长度、也可以是∠APB，这两个变化的量都可以独立地控制四边形OAPB.因此可以用这两个量中的一个来表示·;还可以建立平面直角坐标系，使问题数量化.
答案 -3+2
解析 方法一 设||=||=x，∠APB=θ，
则tan =，
从而cos θ==.
·=||·||·cos θ
=x2·=
=
=x2+1+-3≥2-3，
当且仅当x2+1=，
即x2=-1时取等号，
故·的最小值为2-3.
方法二 设∠APB=θ，0<θ<π，
则||=||=.
·=||||cos θ
=()2cos θ
=·(1-2sin2)
=.
令x=sin2，04|a|，则Smin>0;
⑤若|b|=2|a|，Smin=8|a|2，则a与b的夹角为.
答案 ②④
解析 ∵xi，yi(i=1,2,3,4,5)均由2个a和3个b排列而成，
∴S=xiyi，可能情况有以下三种：
(1)S=2a2+3b2;
(2)S=a2+2a·b+2b2;
(3)S=4a·b+b2.
∵2a2+3b2-(a2+2a·b+2b2)=a2+b2-2a·b=a2+b2-2|a||b|cos θ≥0，
a2+2a·b+2b2-4a·b-b2=a2+b2-2a·b≥0，
∴S的最小值为Smin=b2+4a·b.
因此S最多有3个不同的值，故①不正确.
当a⊥b时，S的最小值为Smin=b2与|a|无关，故②正确.
当a∥b时，S的最小值为Smin=b2+4|a||b|或Smin=b2-4|a||b|与|b|有关，故③不正确.
当|b|>4|a|时，Smin=b2+4|a||b|cos θ≥b2-4|a||b|=|b|(|b|-4|a|)>0，故④正确.
当|b|=2|a|时，由Smin=b2+4a·b=8|a|2知，4a·b=4a2，即a·b=a2，∴|a||b|cos θ=a2，∴cos θ=，
∴θ=，故⑤不正确.
因此正确命题的编号为②④.
11.已知向量a=(sin x，)，b=(cos x，-1).
(1)当a∥b时，求cos2x-sin 2x的值;
(2)设函数f(x)=2(a+b)·b，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=，b=2，sin B=，求f(x)+4cos(2A+)(x∈[0，])的取值范围.
解 (1)因为a∥b，
所以cos x+sin x=0.
所以tan x=-.
故cos2x-sin 2x=
==.
(2)f(x)=2(a+b)·b
=2(sin x+cos x，-)·(cos x，-1)
=sin 2x+cos 2x+=sin(2x+)+.
由正弦定理，得=，
所以sin A===.
所以A=或A=.
因为b>a，所以A=.
所以f(x)+4cos(2A+)=sin(2x+)-.
因为x∈[0，]，
所以2x+∈[，].
所以-1≤f(x)+4cos(2A+)≤-.
所以f(x)+4cos(2A+)的取值范围为[-1，-].
12.在△ABC中，AC=10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD=5，且满足=.
(1)求|-|;
(2)存在实数t≥1，使得向量x=+t，y=t+，令k=x·y，求k的最小值.
解 (1)由=，且A，B，D三点共线，
可知||=||.
又AD=5，所以DB=11.
在Rt△ADC中，CD2=AC2-AD2=75，
在Rt△BDC中，BC2=DB2+CD2=196，
所以BC=14.
所以|-|=||=14.
(2)由(1)，知||=16，||=10，||=14.
由余弦定理，得cos A==.
由x=+t，y=t+，
知k=x·y
=(+t)·(t+)
=t||2+(t2+1)·+t||2
=256t+(t2+1)×16×10×+100t
=80t2+356t+80.
由二次函数的图象，可知该函数在[1，+∞)上单调递增，
所以当t=1时，k取得最小值516.
