题型一 等差、等比数列的基本运算
例1 已知等差数列{an}的前5项和为105，且a10=2a5.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)对任意m∈N*，将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm.求数列{bm}的前m项和Sm.
破题切入点 (1)由已知列出关于首项和公差的方程组，解得a1和d，从而求出an.
(2)求出bm，再根据其特征选用求和方法.
解 (1)设数列{an}的公差为d，前n项和为Tn，
由T5=105，a10=2a5，
得
解得a1=7，d=7.
因此an=a1+(n-1)d=7+7(n-1)=7n(n∈N*).
(2)对m∈N*，若an=7n≤72m，则n≤72m-1.
因此bm=72m-1.
所以数列{bm}是首项为7，公比为49的等比数列，
故Sm===
=.
题型二 等差、等比数列的性质及应用
例2 (1)已知正数组成的等差数列{an}，前20项和为100，则a7·a14的最大值是________.
(2)(2014·济南模拟)在等差数列{an}中，a1=-2 013，其前n项和为Sn，若-=2，则S2 013的值为________.
破题切入点 (1)根据等差数列的性质，a7+a14=a1+a20，S20=可求出a7+a14，然后利用基本不等式.
(2)等差数列{an}中，Sn是其前n项和，则也成等差数列.
答案 (1)25 (2)-2 013
解析 (1)∵S20=×20=100，∴a1+a20=10.
∵a1+a20=a7+a14，∴a7+a14=10.
∵an>0，∴a7·a14≤2=25.
当且仅当a7=a14时取等号.
故a7·a14的最大值为25.
(2)根据等差数列的性质，得数列也是等差数列，根据已知可得这个数列的首项=a1=-2 013，公差d=1，故=-2 013+(2 013-1)×1=-1，所以S2 013=-2 013.
题型三 等差、等比数列的综合应用
例3 已知数列{an}的前n项和Sn满足条件2Sn=3(an-1)，其中n∈N*.
(1)证明：数列{an}为等比数列;
(2)设数列{bn}满足bn=log3an，若cn=anbn，求数列{cn}的前n项和.
破题切入点 (1)利用an=Sn-Sn-1求出an与an-1之间的关系，进而用定义证明数列{an}为等比数列.
(2)由(1)的结论得出数列{bn}的通项公式，求出cn的表达式，再利用错位相减法求和.
(1)证明 由题意得an=Sn-Sn-1=(an-an-1)(n≥2)，
∴an=3an-1，∴=3(n≥2)，
又S1=(a1-1)=a1，解得a1=3，
∴数列{an}是首项为3，公比为3的等比数列.
(2)解 由(1)得an=3n，则bn=log3an=log33n=n，
∴cn=anbn=n·3n，
设Tn=1·31+2·32+3·33+…+(n-1)·3n-1+n·3n，
3Tn=1·32+2·33+3·34+…+(n-1)·3n+n·3n+1.
∴-2Tn=31+32+33+…+3n-n·3n+1
=-n·3n+1，
∴Tn=.
总结提高 (1)关于等差、等比数列的基本量的运算，一般是已知数列类型，根据条件，设出a1，an，Sn，n，d(q)五个量的三个，知三求二，完全破解.
(2)等差数列和等比数列有很多相似的性质，可以通过类比去发现、挖掘.
(3)等差、等比数列的判断一般是利用定义，在证明等比数列时注意证明首项a1≠0，利用等比数列求和时注意公比q是否为1.
1.已知{an}为等差数列，其公差为-2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为________.
答案 110
解析 ∵a3=a1+2d=a1-4，a7=a1+6d=a1-12，a9=a1+8d=a1-16，
又∵a7是a3与a9的等比中项，
∴(a1-12)2=(a1-4)·(a1-16)，
解得a1=20.
∴S10=10×20+×10×9×(-2)=110.
2.(2014·课标全国Ⅱ改编)等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn=________.
答案 n(n+1)
解析 由a2，a4，a8成等比数列，得a=a2a8，
即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14)，
∴a1=2.
∴Sn=2n+×2
=2n+n2-n=n(n+1).
3.等比数列{an}的前n项和为Sn，若2S4=S5+S6，则数列{an}的公比q的值为________.
答案 -2
解析 由2S4=S5+S6，
得2(1-q4)=1-q5+1-q6，化简得
q2+q-2=0，解得q=1(舍去)，q=-2.
4.(2014·大纲全国改编)等比数列{an}中，a4=2，a5=5，则数列{lg an}的前8项和为________.
答案 4
解析 数列{lg an}的前8项和S8=lg a1+lg a2+…+lg a8
=lg(a1·a2·…·a8)=lg(a1·a8)4
=lg(a4·a5)4=lg(2×5)4=4.
5.(2014·大纲全国改编)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=3，S4=15，则S6=________.
答案 63
解析 在等比数列{an}中，S2、S4-S2、S6-S4也成等比数列，
故(S4-S2)2=S2(S6-S4)，
则(15-3)2=3(S6-15)，
解得S6=63.
6.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且=，则使得为整数的正整数n的个数是________.
答案 5
解析 由等差数列的前n项和及等差中项，
可得=
==
==
==7+ (n∈N*)，
故n=1,2,3,5,11时，为整数.
即正整数n的个数是5.
7.(2013·课标全国Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn=an+，则{an}的通项公式是an=________.
答案 (-2)n-1
解析 当n=1时，a1=1;
当n≥2时，
an=Sn-Sn-1=an-an-1，
故=-2，故an=(-2)n-1.
8.(2014·江苏)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是________.
答案 4
解析 因为a8=a2q6，a6=a2q4，a4=a2q2，所以由a8=a6+2a4得a2q6=a2q4+2a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2-q2-2=0，解得q2=2，a6=a2q4=1×22=4.
9.(2014·安徽)数列{an}是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q=________.
答案 1
解析 设等差数列的公差为d，
则a3=a1+2d，a5=a1+4d，
∴(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5)，解得d=-1，
∴q===1.
10.在数列{an}中，如果对任意n∈N*都有=k(k为常数)，则称数列{an}为等差比数列，k称为公差比.现给出下列问题：
①等差比数列的公差比一定不为零;
②等差数列一定是等差比数列;
③若an=-3n+2，则数列{an}是等差比数列;
④若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比.
其中正确命题的序号为________.
答案 ①③④
解析 若k=0，{an}为常数列，分母无意义，①正确;公差为零的等差数列不是等差比数列，②错误;=3，满足定义，③正确;设an=a1qn-1(q≠0)，则==q，④正确.
11.(2014·课标全国Ⅰ)已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2-5x+6=0的根.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{}的前n项和.
解 (1)方程x2-5x+6=0的两根为2,3，
由题意得a2=2，a4=3.
设数列{an}的公差为d，则a4-a2=2d，
故d=，从而a1=.
所以{an}的通项公式为an=n+1.
(2)设{}的前n项和为Sn.
由(1)知=，则
Sn=++…++，
Sn=++…++.
两式相减得
Sn=+(+…+)-
=+(1-)-.
所以Sn=2-.
12.(2014·北京)已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn-an}为等比数列.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)求数列{bn}的前n项和.
解 (1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得
d===3，
所以an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2，…).
设等比数列{bn-an}的公比为q，由题意得
q3===8，解得q=2.
所以bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1.
从而bn=3n+2n-1(n=1,2，…).
(2)由(1)知bn=3n+2n-1(n=1,2，…).
数列{3n}的前n项和为n(n+1)，
数列{2n-1}的前n项和为=2n-1.
所以，数列{bn}的前n项和为n(n+1)+2n-1.
