题型一 平面向量的线性运算
例1 如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么=________.(用和表示)
破题切入点 顺次连结，选好基底.
答案 -
解析 在△CEF中，有=+.
因为点E为DC的中点，所以=.
因为点F为BC的一个三等分点，所以=.
所以=+
=+
=-.
题型二 平面向量基本定理及其应用
例2 如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知=c，=d，试用c，d表示，.
破题切入点 利用平面向量基本定理，用基底表示其余向量.
解 在△ADM中，
=-=c-.①
在△ABN中，
=-=d-.②
由①②得=(2d-c)，=(2c-d).
题型三 平面向量的坐标运算
例3 平面内给定三个向量a=(3,2)，b=(-1,2)，c=(4,1).
(1)求满足a=mb+nc的实数m，n;
(2)若(a+kc)∥(2b-a)，求实数k;
(3)若d满足(d-c)∥(a+b)，且|d-c|=，求d.
破题切入点 向量坐标表示下的线性运算.
解 (1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)，
所以得
(2)a+kc=(3+4k,2+k)，2b-a=(-5,2)，
由题意得2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0，
解得k=-.
(3)设d=(x，y)，则d-c=(x-4，y-1)，a+b=(2,4).
由题意得
得或
∴d=(3，-1)或(5,3).
总结提高 (1)平面向量的性线运算主要包括加减运算和数乘运算，正确把握三角形法则和多边形法则，准确理解数与向量乘法的定义，这是解决向量共线问题的基础.
(2)对于平面向量的线性运算问题，要注意其与数的运算法则的共性与不同，两者不能混淆，如向量的加法与减法要注意向量的起点和终点的确定，灵活利用三角形法则、平行四边形法则.同时抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析;二是基于“数”，借助坐标运算来实现.
1.已知点A(1,3)，B(4，-1)，则与向量同方向的单位向量为________.
答案 (，-)
解析 由题意知=(3，-4)，
所以与同方向的单位向量为=(，-).
2.(2014·课标全国Ⅰ改编)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则化简：+=________.
答案
解析 如图，+
=+++
=+=(+)
=·2=.
3.(2014·北京)已知向量a，b满足|a|=1，b=(2,1)，且λa+b=0(λ∈R)，则|λ|=________.
答案
解析 ∵λa+b=0，∴λa=-b，
∴|λa|=|-b|=|b|==，
∴|λ|·|a|=.
又|a|=1，∴|λ|=.
4.(2014·福建改编)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则化简：+++=________.
答案 4
解析 因为点M为平行四边形ABCD对角线的交点，所以点M是AC和BD的中点，由平行四边形法则知+=2，+=2，故+++=4.
5.如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||=2，||=，||=2，若=λ+μ(λ，μ∈R)，则λ和μ的值分别为________.
答案 2，
解析 设与，同方向的单位向量分别为a，b，
依题意有=4a+2b，
又=2a，=b，
则=2+，
所以λ=2，μ=.
6.(2013·四川)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，+=λ，则λ=________.
答案 2
解析 由于ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴+==2，∴λ=2.
7.(2013·江苏)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC.若=λ1+λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1+λ2的值为________.
答案
解析 如图，=+=+=+(-)=-+
，则λ1=-，λ2=，λ1+λ2=.
8.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若=m，=n (m，n>0)，则+的最小值为________.
答案
解析 =-
=-=+.
同理=+，M，O，N三点共线，
故+=λ，
即+=0，由于，不共线，根据平面向量基本定理得--=0且-+=0，消掉λ即得m+n=2，
故+=(m+n)
=≥(5+4)=.
9.(2014·天津改编)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE=λBC，DF=μDC.若·=1，·=-，则λ+μ=________.
答案
解析 ∵=+λ，=+μ，
∴·=(+λ)·(+μ)
=·+μ·+λ·+λμ·
=2×2×(-)+4μ+4λ+2×2×(-)λμ
=-2+4(λ+μ)-2λμ=1.
∴2(λ+μ)-λμ=.①
∵·=(1-λ)·(1-μ)
=(λμ-λ-μ+1)·
=2×2×(-)(λμ-λ-μ+1)
=-2[λμ-(λ+μ)+1]=-，
∴λμ-(λ+μ)+1=，即λμ-(λ+μ)=-.②
由①②解得λ+μ=.
10.在平面内，已知||=1，||=，·=0，∠AOC=30°，设=m+n(m，n∈R)，则=________.
答案 ±3
解析 因为∠AOC=30°，所以〈，〉=30°.
因为=m+n，·=0，
所以||2=(m+n)2
=m2||2+n2||2
=m2+3n2，
即||=.
又·=·(m+n)
=m2=m，
则·=||·||cos 30°=m，
即1××=m，
平方得m2=9n2，即=9，
所以=±3.
11.已知非零向量e1，e2不共线.
(1)如果=e1+e2，=2e1+8e2，=3(e1-e2)，求证：A、B、D三点共线;
(2)欲使ke1+e2和e1+ke2共线，试确定实数k的值.
(1)证明 ∵=e1+e2，
=+=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)
=5，
∴与共线，且有公共点B，
∴A、B、D三点共线.
(2)解 ∵ke1+e2与e1+ke2共线，
∴存在λ，使ke1+e2=λ(e1+ke2)，
则(k-λ)e1=(λk-1)e2.
由于e1与e2不共线，
只能有∴k=±1.
12.已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，=t1+t2.
(1)求点M在第二或第三象限的充要条件;
(2)求证：当t1=1时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线;
(3)若t1=a2，求当⊥且△ABM的面积为12时a的值.
(1)解 =t1+t2
=t1(0,2)+t2(4,4)=(4t2,2t1+4t2).
当点M在第二或第三象限时，
有
故所求的充要条件为t2<0且t1+2t2≠0.
(2)证明 当t1=1时，
由(1)知=(4t2,4t2+2).
∵=-=(4,4)，
=-=(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2，
∴不论t2为何实数，A、B、M三点共线.
(3)解 当t1=a2时，=(4t2,4t2+2a2).
又=(4,4)，⊥，
∴4t2×4+(4t2+2a2)×4=0，
∴t2=-a2，故=(-a2，a2).
又||=4，
点M到直线AB：x-y+2=0的距离
d==|a2-1|.
∵S△ABM=12，
∴|AB|·d=×4×|a2-1|=12，
解得a=±2，故所求a的值为±2.
