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《初中数学》竞赛辅导21

中华考试网(www.examw.com)  收藏本页   【 】  [ 2015年9月23日 ]

  1. 分类讨论的规则

  解题总是在一定的范围(论域)进行的.解题中有时要将题目条件包含的全体对象分成若干类,然后逐类讨论,才能得出正确的解答.因此,分类讨论是数学解题中的一个重要内容.

  (1) 分类的规则 分类时首先要明确分类的对象和分类的标准.有时还要对第一次分出的各类进行再分类,这就是第二级分类,类似地有第三级分类、第四级分类、……,这种进行多次分类的现象叫做连续分类.合理的分类不但是正确解题的基础,而且是简捷解题的出发点.

  分类的原则是:不重不漏,即每一个题设包含的对象都必须在而且只在所分的一类中.为此,分类时必须做到:

  ① 一次分类只按一个标准进行;

  ② 连续分类按层次逐级进行.

  (2)枚举和讨论 解决需要讨论的问题的方法是枚举,枚举的基础是正确分类.

  例1 求出所有的自然数n,使三个整数n,n+8,n+16都为质数.

  解 现将所有自然数n按模为3的剩余类分成三类:

  n=3k,3k+1,3k+2.

  当n=3k时,只有k=1时,三个整数(3,11,19)都是质数;

  当n=3k+1时,n+8=3k+1+8=3(k+3)不是质数;

  当n=3k+2时,n+16=3k+2+16=3(k+6)不是质数.

  所以满足题设的自然数只有一个3.

  2.分类讨论举例

  下面我们用分类讨论的思想方法来解决一些国内外数学竞赛问题.

  例2 (第4届加拿大中学生竞赛题)设a和n是相异的实数,证明存在整数m和n使得am+bn<0,bm+an>0.

  证明 既然a,b为相异实数,那么必有a-b<0或a-b>0.

  当a-b<0时,就取m=1,n=-1,验证和满足所给不等式;

  当a-b>0时,就取m=-1,n=1,显然也满足所给不等式.

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