《初中数学》竞赛辅导20

　　几何中的两个基本量是：线段的长度和角的大小.三角函数的本质就是用线段长度之比来表示角的大小，从而将两个基本量联系在一起，使我们可以借助三角变换或三角计算来解决一些较难的几何问题.三角函数不仅是一门有趣的学问，而且是解决几何问题的有力工具.

　　1. 角函数的计算和证明问题

　　在解三角函数问题之前，除了熟知初三教材中的有关知识外，还应该掌握：

　　(1)三角函数的单调性 当a为锐角时，sina与tga的值随a的值增大而增大;cosa与ctga随a的值增大而减小;当a为钝角时，利用诱导公式转化为锐角三角函数讨论.

　　注意到sin45°=cos45°= ,由(1)可知,当时0sina;当45°

　　(2)三角函数的有界性|sina|≤1,|cosa|≤1,tga、ctga可取任意实数值(这一点可直接利用三角函数定义导出).

　　例1(1986年全国初中数学竞赛备用题)在△ABC中，如果等式sinA+cosA= 成立，那么角A是( )

　　(A)锐角 (B)钝角 (C)直角

　　分析 对A分类，结合sinA和cosA的单调性用枚举法讨论.

　　解当A=90°时，sinA和cosA=1;

　　当45° ，cosA>0，

　　∴sinA+cosA> 当A=45°时，sinA+cosA= 当00,cosA> ∴sinA+cosA> ∵ 1, 都大于 .

　　∴淘汰(A)、(C)，选(B).

　　例2(1982年上海初中数学竞赛题)ctg67°30′的值是( )

　　(A) -1 (B)2- (C) -1

　　(D) (E) 分析 构造一个有一锐角恰为67°30′的Rt△，再用余切定义求之.

　　解 如图36-1，作等腰Rt△ABC，设∠B=90°，AB=BC=1.延长BA到D使AD=AC，连DC，则AD=AC= ，∠D=22.5°,∠DCB=67.5°.这时，

　　ctg67°30′=ctg∠DCB= ∴选(A).