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《初中数学》竞赛辅导19

中华考试网(www.examw.com)  收藏本页   【 】  [ 2015年9月23日 ]

  根的判别式实系数一元二次方程的重要基础知识,利用它们可进一步研究根的性质,也可以将一些表面上看不是一元二次方程的问题转化为一元二次方程来讨论.

  判别式的应用

  例1 (1987年武汉等四市联赛题)已知实数a、b、c、R、P满足条件PR>1,Pc+2b+Ra=0.求证:一元二次方程ax2+2bx+c=0必有实根.

  证明 △=(2b)2-4ac.①若一元二次方程有实根,

  必须证△≥0.由已知条件有2b=-(Pc+Ra),代入①,得

  △ =(Pc+Ra)2-4ac

  =(Pc)2+2PcRa+(Ra)2-4ac

  =(Pc-Ra)2+4ac(PR-1).

  ∵(Pc-Ra)2≥0,又PR>1,a≠0,

  (1)当ac≥0时,有△≥0;

  (2)当ac<0时,有△=(2b)2-4ac>0.

  (1)、(2)证明了△≥0,故方程ax2+2bx+c=0必有实数根.

   

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