1.D 解析:0<<1,∴y=是减函数.
又a>b,.
2.B 解析:“至少有一个”的反面应是“一个都没有”.故应选B.
3.A 解析:当a>1时,y=ax为增函数;当00或a>0,b=0或a>0,b>0.故D错误.
6.C 解析:假设这三个数都小于2,则三个数之和小于6.又≥2+2+2=6(当且仅当x=y=z时等号成立),与假设矛盾,故这三个数至少有一个不小于2.另取x=y=z=1,可排除A,B.
7.C 解析:假设P0,b>0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点(4,6)时,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值12,即4a+6b=12,即2a+3b=6.
则
≥+2=
.
12.D 解析:因为1=a+2b≥2,所以ab≤,当且仅当a=2b=时,等号成立.
又a2+4b2+≥2=4ab+.
令t=ab,则f(t)=4t+单调递减,
所以f(t)min=f.
此时a=2b=.
13. 解析:平面几何中,圆的面积与圆的半径的平方成正比,而在空间几何中,球的体积与球的半径的立方成正比,所以.
14.1+ 解析:先观察左边,第一个不等式为2项相加,第二个不等式为3项相加,第三个不等式为4项相加,则第五个不等式应为6项相加,右边分子为分母的2倍减1,分母即为所对应项数,故应填1+.
15.③ 解析:对于①,a,b均可小于1;对于②,a,b均可等于1;对于④⑤,a,b均可为负数;对于③,若a,b都不大于1,则a+b≤2,与③矛盾.故若③成立,则a,b中至少有一个实数大于1.
16.5 解析:画出x,y的可行域如图阴影区域.
由z=x+4y,得y=-x+.
先画出直线y=-x,再平移直线y=-x,当经过点B(1,1)时,z=x+4y取得最大值为5.
17.证明:a⊥b,∴a·b=0.
要证,
只需证|a|+|b|≤|a-b|,
两边平方,得|a|2+|b|2+2|a||b|≤2(|a|2+|b|2-2a·b),
只需证|a|2+|b|2-2|a||b|≥0,
即(|a|-|b|)2≥0,显然成立.故原不等式得证.
18.解:由题意知f(x)=a(x-1)(x-3),且a<0,
则二次函数在区间[2,+∞)上是减函数.
又因为8+|t|≥8,2+t2≥2,
所以由二次函数的单调性知不等式f(|t|+8)2+t2,
即|t|2-|t|-6<0,
解得|t|<3,即不等式的解为-3k⇔kx2-2x+6k<0,
由已知其解集为{x|x<-3,或x>-2},
得x1=-3,x2=-2是方程kx2-2x+6k=0的两根,
则-2-3=,解得k=-.
(2)x>0,∴f(x)=(当且仅当x=时,等号成立),
又已知f(x)≤t对任意x>0恒成立,
实数t的取值范围是.
20.解:设y=x+2h,由条件知x2+4xh=4,即h=.
设外接圆的半径为R,即求R的最小值,
4R2=x2+(2h+x)2
=2(x2+2hx+2h2),
∴2R2=f(x)=x2+x2+(0a1,即a2>2.
又(n+1)an≥na2n,令n=1,
则有2a1≥a2,即a2≤4,
所以a2(2,4].
(2)数列{an}不是等比数列.
用反证法证明:
假设数列{an}是公比为q的等比数列,由a1=2>0,得an=2qn-1.
因为数列{an}单调递增,所以q>1.
因为(n+1)an≥na2n对任意nN*都成立,
所以对任意nN*,都有1+≥qn.①
因为q>1,所以存在n0N*,使得当n≥n0时,qn>2.
因为1+≤2(nN*).
所以存在n0N*,使得当n≥n0时,qn>1+,与①矛盾,故假设不成立.
22.解:(1)因为方程ax-(1+a2)x2=0(a>0)有两个实根x1=0,x2=.
所以f(x)>0的解集为{x|x1
