(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2014山东青岛一模)若a,b是任意实数,且a>b,则下列不等式成立的是( )
A.a2>b2 B.<1
C.lg (a-b)>0 D.
2.用反证法证明命题:“若a,bN,ab可被5整除,则a,b中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应该是( )
A.a,b都能被5整除
B.a,b都不能被5整除
C.a,b不都能被5整除
D.a能被5整除
3.“因为指数函数y=ax是增函数(大前提),而y=是指数函数(小前提),所以函数y=是增函数(结论)”,上面推理的错误在于( )
A.大前提错误导致结论错
B.小前提错误导致结论错
C.推理形式错误导致结论错
D.大前提和小前提错误导致结论错
4.“|x|<2”是“x2-x-6<0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.下列命题错误的是( )
A.若a≥0,b≥0,则
B.若,则a≥0,b≥0
C.若a>0,b>0,且,则a≠b
D.若,且a≠b,则a>0,b>0
6.设x,y,z>0,则三个数( )
A.都大于2
B.至少有一个大于2
C.至少有一个不小于2
D.至少有一个不大于2
7.若P=,Q=(a≥0),则P,Q的大小关系( )
A.P>Q B.P=Q
C.P0,b>0)的最大值为12,则的最小值为( )
A. B. C. D.4
12.(2014河南郑州模拟)已知正实数a,b满足a+2b=1,则a2+4b2+的最小值为( )
A. B.4 C. D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.将答案填在题中横线上)
13.在平面几何中有如下结论:若正三角形ABC的内切圆面积为S1,外接圆面积为S2,则.推广到空间几何可以得到类似结论:若正四面体A-BCD的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则= .
14.观察下列不等式
1+,
1+,
1+,
……
照此规律,第五个不等式为 .
15.(2014福建龙岩模拟)设a,bR,给出下列条件:
①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1,其中能推出:“a,b中至少有一个实数大于1”的条件是 .
16.设x,y满足约束条件则z=x+4y的最大值为 .
三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(12分)已知非零向量ab,求证:.
18.(12分)(2014山东省实验中学高三诊断)记f(x)=ax2-bx+c,若不等式f(x)>0的解集为(1,3),试解关于t的不等式f(|t|+8)k的解集为{x|x<-3,或x>-2},求k的值;
(2)若对任意x>0,f(x)≤t恒成立,求实数t的范围.
20.(12分)一变压器的铁芯截面为正十字型(两个全等的长方形,它们完全重合,把其中一个长方形绕中点旋转90°后而得的组合图叫正十字型),为保证所需的磁通量,要求十字应具有4 cm2的面积,问应如何设计十字型宽x及长y,才能使其外接圆的周长最短,这样可使绕在铁芯上的铜线最节省.
21.(12分)在单调递增数列{an}中,a1=2,不等式(n+1)an≥na2n对任意nN*都成立.
(1)求a2的取值范围;
(2)判断数列{an}是不是等比数列,并说明理由.
22.(14分)设函数f(x)=ax-(1+a2)x2,其中a>0,区间I={x|f(x)>0}.
(1)求I的长度(注:区间(α,β)的长度定义为β-α);
(2)给定常数k(0,1),当1-k≤a≤1+k时,求I长度的最小值.
