1.A 解析:该数列的通项公式为an=(2n-1)+,
则Sn=[1+3+5+…+(2n-1)]+
=n2+1-.
2.D 解析:由已知得f'(x)=2x+b,f'(1)=2+b=3,解得b=1,
所以f(x)=x2+x,,
所以S2 015=+…+=1-+…+=1-.
3.B 解析:由已知an+1+(-1)nan=2n-1,得an+2+(-1)n+1an+1=2n+1,得an+2+an=(-1)n(2n-1)+(2n+1),取n=1,5,9及n=2,6,10,结果相加可得S12=a1+a2+a3+a4+…+a11+a12=78.故选B.
4. 解析:设等比数列{an}的公比为q,
则=q3=27,解得q=3.
所以an=a1qn-1=3×3n-1=3n,
故bn=log3an=n,
所以,
则数列的前n项和为1-+…+=1-.
5.解:(1)由a1=3,得2p+q=3.
又因为a4=24p+4q,a5=25p+5q,且a1+a5=2a4,
得3+25p+5q=25p+8q,解得p=1,q=1.
(2)由(1)知,an=2n+n,
所以Sn=(2+22+…+2n)+(1+2+…+n)=2n+1-2+.
6.解:(1)∵向量p与q垂直,
2n+1an-2nan+1=0,即2nan+1=2n+1an.
=2.
∴{an}是以1为首项,2为公比的等比数列.
an=2n-1.
(2)∵bn=log2an+1=n-1+1=n,
∴an·bn=n·2n-1.
∴Sn=1+2×2+3×22+4×23+…+n·2n-1.①
∴2Sn=1×2+2×22+3×23+…+(n-1)·2n-1+n·2n.②
①-②得,-Sn=1+2+22+23+24+…+2n-1-n·2n=-n·2n=(1-n)·2n-1,
Sn=1+(n-1)·2n.
7.解:(1)=an,
an=Sn-Sn-1(n≥2),
∴=(Sn-Sn-1),
即2Sn-1Sn=Sn-1-Sn.①
由题意得Sn-1·Sn≠0,
①式两边同除以Sn-1·Sn,
得=2,
数列是首项为=1,公差为2的等差数列.
=1+2(n-1)=2n-1,
∴Sn=.
(2)∵bn=,
∴Tn=b1+b2+…+bn
=+…+
=.
8.解:(1)由题意知(a1+d)2=a1(a1+3d),
即(a1+2)2=a1(a1+6),
解得a1=2,
所以数列{an}的通项公式为an=2n.
(2)由题意知bn==n(n+1),
所以Tn=-1×2+2×3-3×4+…+(-1)nn·(n+1).
因为bn+1-bn=2(n+1),
可得当项数为偶数时,
Tn=(-b1+b2)+(-b3+b4)+…+(-bn-1+bn)=4+8+12+…+2n=,
当项数为奇数时,Tn=Tn-1+(-bn)=-n(n+1)=-.
所以Tn=
9.解:(1)设等差数列{an}的公差为d.
由已知条件可得
解得
故数列{an}的通项公式为an=2-n.
(2)设数列的前n项和为Sn,
即Sn=a1++…+,
故S1=1,+…+.
所以,当n>1时,
=a1++…+
=1-
=1-.
所以Sn=.
综上,数列的前n项和Sn=.
10.解:(1)由已知,当n≥1时,
an+1=[(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)]+a1
=3(22n-1+22n-3+…+2)+2=22(n+1)-1.
而a1=2,
所以数列{an}的通项公式为an=22n-1.
(2)由bn=nan=n·22n-1知
Sn=1·2+2·23+3·25+…+n·22n-1.①
从而22·Sn=1·23+2·25+3·27+…+n·22n+1.②
①-②,得
(1-22)Sn=2+23+25+…+22n-1-n·22n+1,
即Sn=[(3n-1)22n+1+2].
11.解:(1)当n=kN*时,Sn=-n2+kn取得最大值,
即8=Sk=-k2+k2=k2,
故k2=16,即k=4.
当n=1时,a1=S1=-+4=;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-n.
当n=1时,上式也成立.
综上,an=-n.
(2)因为,
所以Tn=1++…+,①
所以2Tn=2+2++…+,②
②-①得,2Tn-Tn=2+1++…+=4-=4-,
故Tn=4-.
12.解:(1)对任意正整数n,都有bn,,bn+1成等比数列,且{an},{bn}都为正项数列,
an=bnbn+1(n∈N*).
∴a1=b1b2=3,a2=b2b3=6.
又{bn}是等差数列,b1+b3=2b2,
解得b1=,b2=.
bn=(n+1).
(2)由(1)可得an=bnbn+1=,
则
=2,
Sn=2
=1-.
∴2Sn=2-.
又2-=2-,
2Sn-.
∴当n=1,2时,2Sn<2-;
当n≥3时,2Sn>2-.
