1.双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得，不知道焦点在哪一个坐标轴上的双曲线，方程可设为+=1 (mn<0).
2.和双曲线有关的轨迹问题要按照求轨迹方程的一般步骤来解，也要和双曲线的定义相结合.
§3 双曲线
3.1 双曲线及其标准方程
知识梳理
1.(1)|F1F2| 以F1，F2为端点的两条射线 不存在
(2)双曲线的焦点 双曲线的焦距
2.(1)-=1(a>0，b>0) (-c,0) (c,0)
(2)-=1(a>0，b>0) (0，-c) (0，c)
(3)c2=a2+b2
作业设计
1.B [根据双曲线的定义，乙甲，但甲乙，
只有当2a<|F1F2|且a≠0时，其轨迹才是双曲线.]
2.B [原方程可化为+y2=1，因为ab<0，所以<0，所以曲线是焦点在y轴上的双曲线.]
3.A [∵双曲线的焦点在x轴上，
∴设双曲线方程为-=1 (a>0，b>0).
由题知c=2，∴a2+b2=4.①
又点(2,3)在双曲线上，∴-=1.②
由①②解得a2=1，b2=3，
∴所求双曲线的标准方程为x2-=1.]
4.A [∵双曲线的焦点为(2,0)，在x轴上且c=2，
∴m+3+m=c2=4.∴m=.]
5.C [由题意两定圆的圆心坐标为O1(0,0)，O2(4,0)，设动圆圆心为O，动圆半径为r，则|OO1|=r+1，|OO2|=r+2，∴|OO2|-|OO1|=1<|O1O2|=4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支.]
6.B [设双曲线方程为-=1，因为c=，c2=a2+b2，所以b2=5-a2，所以-=1.由于线段PF1的中点坐标为(0,2)，则P点的坐标为(，4).代入双曲线方程得-=1，解得a2=1或a2=25(舍去)，所以双曲线方程为x2-=1.]
7.2
解析 ∵||PF1|-|PF2||=4，
又PF1⊥PF2，|F1F2|=2，
∴|PF1|2+|PF2|2=20，∴(|PF1|-|PF2|)2
=20-2|PF1||PF2|=16，∴|PF1|·|PF2|=2.
8.-10.所以(k+1)(k-1)<0.
所以-10，b>0)，由题意知c2=36-27=9，c=3.
又点A的纵坐标为4，则横坐标为±，于是有
解得
所以双曲线的标准方程为-=1.
方法二 将点A的纵坐标代入椭圆方程得
A(±，4)，
又两焦点分别为F1(0,3)，F2(0，-3).
所以2a=|-
|=4，
即a=2，b2=c2-a2=9-4=5，
所以双曲线的标准方程为-=1.
11.解 设A点的坐标为(x，y)，在△ABC中，由正弦定理，
得===2R，
代入sin B-sin C=sin A，
得-=·，又|BC|=8，
所以|AC|-|AB|=4.
因此A点的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a=4,2c=8，
所以a=2，c=4，b2=12.
所以A点的轨迹方程为-=1 (x>2).
12.B
[由c=2得a2+1=4，
∴a2=3，
∴双曲线方程为-y2=1.
设P(x，y)(x≥)，
·=(x，y)·(x+2，y)=x2+2x+y2=x2+2x+-1=x2+2x-1(x≥).
令g(x)=x2+2x-1(x≥)，则g(x)在[，+∞)上单调递增.g(x)min=g()=3+2.
∴·的取值范围为[3+2，+∞).]
13.解 设双曲线的标准方程为-=1，
且c=，则a2+b2=7.①
由MN中点的横坐标为-知，
中点坐标为.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由
得b2(x1+x2)(x1-x2)-a2(y1+y2)(y1-y2)=0.
∵，且=1，
∴2b2=5a2.②
由①，②求得a2=2，b2=5.
∴所求双曲线的标准方程为-=1.
