1.双曲线-=1 (a>0，b>0)既关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称;其顶点为(±a，0)，实轴长为2a，虚轴长为2b;其上任一点P(x，y)的横坐标均满足|x|≥a.
2.双曲线的离心率e=的取值范围是(1，+∞)，其中c2=a2+b2，且=，离心率e越大，双曲线的开口越大.可以通过a、b、c的关系，列方程或不等式求离心率的值或范围.
3.双曲线-=1 (a>0，b>0)的渐近线方程为y=±x，也可记为-=0;与双曲线-=1具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为-=λ (λ≠0).
3.2 双曲线的简单性质
知识梳理
1.
标准
方程 -=1 (a>0，b>0) -=1
(a>0，b>0) 范围 x≥a或x≤-a y≥a或y≤-a 对称性 关于x、y轴对称 关于原点对称 顶点 (a,0)，(-a,0) (0，a)，(0，-a) 渐近线 y=±x y=±x 离心率 e=>1 e=>1 2.(1)中心 (2)实轴 虚轴 (3)开阔 增大
作业设计
1.B [∵e=，∴e2==，∴=，故选B.]
2.A
3.C [由于椭圆4x2+y2=1的焦点坐标为，
则双曲线的焦点坐标为，又由渐近线方程为y=x，得=，即a2=2b2，又由2=a2+b2，得a2=，b2=，又由于焦点在y轴上，因此双曲线的方程为2y2-4x2=1.]
4.C [由题意知，2b=2,2c=2，则b=1，c=，a=;双曲线的渐近线方程为y=±x.]
5.C [点(，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点.]
6.B [||PF1|-|PF2||=2a，即3|PF2|=2a，
所以|PF2|=≥c-a，即2a≥3c-3a，即5a≥3c，
则≤.]
7.
解析 a+b=5，ab=6，解得a，b的值为2或3.
又a>b，∴a=3，b=2.∴c=，从而e==.
8.-=1(x>3)
解析 以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点建立直角坐标系，则B(-5,0)，C(5,0)，而|AB|-|AC|=6<10.故A点的轨迹是双曲线的右支，其方程为-=1(x>3).
9.-=1
解析 ∵所求双曲线与双曲线-=1有相同的渐近线，∴可设所求双曲线的方程为-=λ (λ≠0).∵点(-3,2)在双曲线上，
∴λ=-=.
∴所求双曲线的方程为-=1.
10.解 (1)因直线x=与渐近线4x+3y=0的交点坐标为，而3<|-5|，故双曲线的焦点在x轴上，设其方程为-=1，
由
解得故所求的双曲线方程为-=1.
(2)设F1、F2为双曲线的两个焦点.依题意，它的焦点在x轴上.
因为PF1⊥PF2，且|OP|=6，
所以2c=|F1F2|=2|OP|=12，所以c=6.
又P与两顶点连线夹角为，
所以a=|OP|·tan=2，
所以b2=c2-a2=24.
故所求的双曲线方程为-=1.
11.(1)解 ∵e=，∴可设双曲线方程为x2-y2=λ.
∵过点(4，-)，∴16-10=λ，即λ=6.
∴双曲线方程为x2-y2=6.
(2)证明 易知F1(-2，0)、F2(2，0)，
∴kMF1=，kMF2=，
kMF1·kMF2==-，
∵点(3，m)在双曲线上，
∴9-m2=6，m2=3，故kMF1·kMF2=-1，
∴MF1⊥MF2.
(3)解 △F1MF2的底|F1F2|=4，
F1F2上的高h=|m|=，
∴S△F1MF2=6.
12.
D [设双曲线方程为-=1(a>0，b>0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y=x，
而kBF=-，∴·(-)=-1，
整理得b2=ac.
∴c2-a2-ac=0，两边同除以a2，得e2-e-1=0，
解得e=或e=(舍去)，故选D.]
13.解 设双曲线方程为-=1.
∵|F1F2|=2c，而e==2.
由双曲线定义得||PF1|-|PF2||=2a=c.
由余弦定理得
(2c)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2
=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1||PF2|(1-cos 60°).
∴4c2=c2+|PF1||PF2|.
又∵S△PF1F2=|PF1||PF2|sin 60°=12，
∴|PF1||PF2|=48.
∴3c2=48，c2=16.∴a2=4，b2=12.
∴所求双曲线方程为-=1.
