4.(2015·合肥质检)已知函数f(x)=x+x(1(x>0)，以点(n，f(n))为切点作函数图像的切线ln(n∈N*)，直线x=n+1与函数y=f(x)图像及切线ln分别相交于An，Bn，记an=|AnBn|。
(1)求切线ln的方程及数列{an}的通项公式;
(2)设数列{nan}的前n项和为Sn，求证：Sn<1。
解 (1)对f(x)=x+x(1(x>0)求导，得f′(x)=1-x2(1，
则切线ln的方程为y-n(1=n2(1(x-n)，
即y=n2(1x+n(2。
易知Ann+1(1，Bnn2(n-1，
由an=|AnBn|知an=n2(n-1=n2(n+1)(1。
(2)证明：∵nan=n(n+1)(1=n(1-n+1(1，
∴Sn=a1+2a2+…+nan=1-2(1+2(1-3(1+…+n(1-n+1(1=1-n+1(1<1。
5.已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列。
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=(-1)n-1anan+1(4n，求数列{bn}的前n项和Tn。
解 (1)因为S1=a1，S2=2a1+2(2×1×2=2a1+2，
S4=4a1+2(4×3×2=4a1+12，
由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12)，
解得a1=1，所以an=2n-1。
(2)bn=(-1)n-1anan+1(4n=(-1)n-1(2n-1)(2n+1)(4n
=(-1)n-12n+1(1。
当n为偶数时，
Tn=3(1-5(1+…+2n-3(1+2n-1(1-2n+1(1=1-2n+1(1=2n+1(2n。
当n为奇数时，
Tn=3(1-5(1+…-2n-3(1+2n-1(1+2n+1(1=1+2n+1(1=2n+1(2n+2。
所以Tn=，n为偶数。(2n或Tn=2n+1(2n+1+(-1)n-1
6.(2015·杭州质检)已知数列{an}满足a1=1，an+1=1-4an(1，其中n∈N*。
(1)设bn=2an-1(2，求证：数列{bn}是等差数列，并求出{an}的通项公式;
(2)设cn=n+1(4an，数列{cncn+2}的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得Tn解 (1)∵bn+1-bn=2an+1-1(2-2an-1(2
=-1(1-2an-1(2
=2an-1(4an-2an-1(2=2(常数)，
∴数列{bn}是等差数列。
∵a1=1，∴b1=2，
因此bn=2+(n-1)×2=2n，
由bn=2an-1(2得an=2n(n+1。
(2)由cn=n+1(4an，an=2n(n+1得cn=n(2，
∴cncn+2=n(n+2)(4=2n+2(1，
∴Tn=21-3(1+2(1-4(1+3(1-5(1+…+n(1-n+2(1
=2n+2(1<3，
依题意要使Tn即4(m(m+1)≥3，
解得m≥3或m≤-4，又m为正整数，所以m的最小值为3。
