1.(2015·湖北卷)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)ω>0，|φ|<2(π在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：
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ωx＋φ |
0 |
2 |
π |
2 |
2π |
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x |
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3 |
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6 |
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Asin(ωx＋φ) |
0 |
5 |
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－5 |
0 |
(1)请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式;
(2)将y=f(x)图像上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y=g(x)的图像，若y=g(x)图像的一个对称中心为，0(5π，求θ的最小值。
解 (1)根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=-6(π。
数据补全如下表：
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ωx＋φ |
0 |
2 |
π |
2 |
2π |
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x |
12 |
3 |
12 |
6 |
12 |
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Asin(ωx＋φ) |
0 |
5 |
0 |
－5 |
0 |
且函数表达式为f(x)=5sin6(π。
(2)由(1)知f(x)=5sin6(π，
得g(x)=5sin6(π。
因为y=sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z。
令2x+2θ-6(π=kπ，解得x=2(kπ+12(π-θ，k∈Z。
由于函数y=g(x)的图像关于点，0(5π成中心对称，令2(kπ+12(π-θ=12(5π，解得θ=2(kπ-3(π，k∈Z。
由θ>0可知，当k=1时，θ取得最小值6(π。
2.(2015·浙江卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c。已知tan+A(π=2。
(1)求sin 2A+cos2A(sin 2A的值;
(2)若B=4(π，a=3，求△ABC的面积。
解 (1)由tan+A(π=2，得tan A=3(1，
所以sin 2A+cos2A(sin 2A=2tan A+1(2tan A=5(2。
(2)由tan A=3(1，A∈(0，π)，得sin A=10(10，cos A=10(10。
又由a=3，B=4(π及正弦定理sin A(a=sin B(b，得b=3。
由sin C=sin(A+B)=sin4(π得sin C=5(5。
设△ABC的面积为S，则S=2(1absin C=9。
3.(2016·潍坊3月模拟)已知函数f(x)=sin2ωx-6(π-4sin2ωx+2(ω>0)，其图像与x轴相邻两个交点的距离为2(π。
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若将f(x)的图像向左平移m(m>0)个长度单位得到函数g(x)的图像恰好经过点，0(π，求当m取得最小值时，g(x)在12(7π上的单调递增区间。
解 (1)函数f(x)=sin6(π-4sin2ωx+2=2(3sin 2ωx-2(1cos 2ωx-4×2(1-cos 2ωx+2=2(3sin 2ωx+2(3cos 2ωx=sin3(π(ω>0)，
根据函数f(x)的图像与x轴相邻两个交点的距离为2(π，可得函数f(x)的最小正周期为2×2(π=2ω(2π，得ω=1。
故函数f(x)=sin3(π。
(2)将f(x)的图像向左平移m(m>0)个长度单位得到函数g(x)=sin3(π=sin2x+2m+3(π的图像，根据g(x)的图像恰好经过点，0(π，
可得sin3(π=0，
即sin3(π=0，
所以2m-3(π=kπ(k∈Z)，m=2(kπ+6(π(k∈Z)，
因为m>0，所以当k=0时，m取得最小值，且最小值为6(π。
此时，g(x)=sin3(2π。
令2kπ-2(π≤2x+3(2π≤2kπ+2(π，k∈Z，得kπ-12(7π≤x≤kπ-12(π，k∈Z，故函数g(x)的单调递增区间为kπ-12(7π，kπ-12(π，k∈Z。
结合x∈127π，可得g(x)在12(7π上的单调递增区间为12(π和12(7π。
