1.若数列{an}的通项公式为an=，则其前n项和Sn为________.
答案 --
解析 因为an==-，
所以Sn=a1+a2+…+an
=1-+-+-+…+-+-
=1+--
=--.
2.已知数列1，3，5，7，…，则其前n项和Sn为________.
答案 n2+1-
解析 因为an=2n-1+，
则Sn=n+=n2+1-.
3.(2013·课标全国Ⅰ改编)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm-1=-2，Sm=0，Sm+1=3，则m=________.
答案 5
解析 am=2，am+1=3，故d=1，
因为Sm=0，故ma1+d=0，
故a1=-，
因为am+am+1=5，
故am+am+1=2a1+(2m-1)d=-(m-1)+2m-1=5，
即m=5.
4.在数列{an}中，若存在一个确定的正整数T，对任意n∈N*满足an+T=an，则称{an}是周期数列，T叫作它的周期.已知数列{xn}满足x1=1，x2=a(a≤1)，xn+2=|xn+1-xn|，当数列{xn}的周期为3时，则{xn}的前2 013项和S2 013=________.
答案 1 342
解析 由xn+2=|xn+1-xn|，
得x3=|x2-x1|=|a-1|=1-a，
x4=|x3-x2|=|1-2a|，
因为数列{xn}的周期为3，所以x4=x1，
即|1-2a|=1，解得a=0或a=1.
当a=0时，数列{xn}为1,0,1,1,0,1，…，
所以S2 013=2×671=1 342.
当a=1时，数列{xn}为1,1,0,1,1,0，…，
所以S2 013=2×671=1 342.
综上，S2 013=1 342.
5.已知数列2 008,2 009,1，-2 008，-2 009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 014项之和S2 014=________.
答案 2 010
解析 由已知得an=an-1+an+1(n≥2)，
∴an+1=an-an-1.
故数列的前8项依次为2 008,2 009,1，-2 008，-2 009，-1,2 008,2 009.
由此可知数列为周期数列，周期为6，且S6=0.
∵2 014=6×335+4，
∴S2 014=S4=2 008+2 009+1+(-2 008)=2 010.
6.数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1，则{an}的前60项和为________.
答案 1 830
解析 ∵an+1+(-1)nan=2n-1，
∴a2=1+a1，a3=2-a1，a4=7-a1，a5=a1，a6=9+a1，a7=2-a1，a8=15-a1，a9=a1，a10=17+a1，a11=2-a1，a12=23-a1，…，a57=a1，a58=113+a1，a59=2-a1，a60=119-a1，
∴a1+a2+…+a60=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)+…+(a57+a58+a59+a60)=10+26+42+…+234
==1 830.
7.在等比数列{an}中，a1=3，a4=81，若数列{bn}满足bn=log3an，则数列的前n项和Sn=________.
答案
解析 设等比数列{an}的公比为q，
则=q3=27，解得q=3.
所以an=a1qn-1=3×3n-1=3n，
故bn=log3an=n，
所以==-.
则数列的前n项和为1-+-+…+-=1-=.
8.对于数列{an}，定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”，若a1=1.{an}的“差数列”的通项公式为an+1-an=2n，则数列{an}的前n项和Sn=________.
答案 2n+1-n-2
解析 因为an+1-an=2n，
应用累加法可得an=2n-1，
所以Sn=a1+a2+a3+…+an
=2+22+23+…+2n-n
=-n
=2n+1-n-2.
9.定义：若数列{An}满足An+1=A，则称数列{An}为“平方递推数列”.已知数列{an}中，a1=2，点(an，an+1)在函数f(x)=2x2+2x的图象上，其中n为正整数.
(1)证明：数列{2an+1}是“平方递推数列”，且数列{lg(2an+1)}为等比数列;
(2)设(1)中“平方递推数列”的前n项之积为Tn，即Tn=(2a1+1)·(2a2+1)·…·(2an+1)，求数列{an}的通项公式及Tn关于n的表达式.
(1)证明 由题意得an+1=2a+2an，
得2an+1+1=4a+4an+1=(2an+1)2.
所以数列{2an+1}是“平方递推数列”.
令cn=2an+1，所以lg cn+1=2lg cn.
因为lg(2a1+1)=lg 5≠0，
所以=2.
所以数列{lg(2an+1)}为等比数列.
(2)解 因为lg(2a1+1)=lg 5，
所以lg(2an+1)=2n-1·lg 5，
所以2an+1=52n-1，
即an=(52n-1-1).
因为lg Tn=lg(2a1+1)+lg(2a2+1)+…+lg(2an+1)
==(2n-1)lg 5.
所以Tn=52n-1.
10.(2014·湖南)已知数列{an}的前n项和Sn=，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=2an+(-1)nan，求数列{bn}的前2n项和.
解 (1)当n=1时，a1=S1=1;
当n≥2时，
an=Sn-Sn-1=-=n.
故数列{an}的通项公式为an=n.
(2)由(1)知an=n，故bn=2n+(-1)nn.
记数列{bn}的前2n项和为T2n，则
T2n=(21+22+…+22n)+(-1+2-3+4-…+2n).
记A=21+22+…+22n，B=-1+2-3+4-…+2n，则A==22n+1-2.
B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n，
故数列{bn}的前2n项和T2n=A+B=22n+1+n-2.
11.(2014·课标全国Ⅱ)已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1.
(1)证明{an+}是等比数列，并求{an}的通项公式;
(2)证明++…+<.
证明 (1)由an+1=3an+1
得an+1+=3(an+).
又a1+=，
所以{an+}是首项为，公比为3的等比数列.
an+=，因此{an}的通项公式为an=.
(2)由(1)知=.
因为当n≥1时，3n-1≥2×3n-1，
所以≤.
于是++…+≤1++…+
=(1-)<.
所以++…+<.
12.(2014·山东)已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=(-1)n-1，求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)因为S1=a1，S2=2a1+×2=2a1+2，
S4=4a1+×2=4a1+12，
由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12)，解得a1=1，
所以an=2n-1.
(2)bn=(-1)n-1=(-1)n-1
=(-1)n-1(+).
当n为偶数时，
Tn=(1+)-(+)+…+(+)-(+)=1-=.
当n为奇数时，
Tn=(1+)-(+)+…-(+)+(+)=1+=.
所以Tn=
(或Tn=)
