题型一 分组转化法求和
例1 等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 (1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足：bn=an+(-1)nln an，求数列{bn}的前n项和Sn.
破题切入点 (1)可以通过逐个验证来确定数列的前三项，进而求得an;
(2)可以分组求和：将{bn}前n项和转化为数列{an}和数列{(-1)nln an}前n项的和.
解 (1)当a1=3时，不合题意;
当a1=2时，当且仅当a2=6，a3=18时，符合题意;
当a1=10时，不合题意.
因此a1=2，a2=6，a3=18.所以公比q=3.
故an=2·3n-1 (n∈N*).
(2)因为bn=an+(-1)nln an
=2·3n-1+(-1)nln(2·3n-1)
=2·3n-1+(-1)n[ln 2+(n-1)ln 3]
=2·3n-1+(-1)n(ln 2-ln 3)+(-1)nnln 3，
所以Sn=2(1+3+…+3n-1)+[-1+1-1+…+(-1)n]·(ln 2-ln 3)+[-1+2-3+…+(-1)nn]ln 3.
所以当n为偶数时，Sn=2×+ln 3
=3n+ln 3-1;
当n为奇数时，
Sn=2×-(ln 2-ln 3)+ln 3
=3n-ln 3-ln 2-1.
综上所述，Sn=
题型二 错位相减法求和
例2 已知：数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-n(n∈N*).
(1)求a1，a2的值;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)若数列{bn}的前n项和为Tn，且满足bn=nan(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.
破题切入点 (1)代入求解即可.
(2)由Sn=2an-n得Sn-1=2an-1-(n-1)，n≥2，两式相减构造数列求通项公式.
(3)错位相减求和.
解 (1)Sn=2an-n.
令n=1，解得a1=1;
令n=2，解得a2=3.
(2)Sn=2an-n，
所以Sn-1=2an-1-(n-1)(n≥2，n∈N*)，
两式相减得an=2an-1+1，
所以an+1=2(an-1+1)(n≥2，n∈N*)，
又因为a1+1=2，
所以数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列.
所以an+1=2n，即通项公式an=2n-1(n∈N*).
(3)bn=nan，所以bn=n(2n-1)=n·2n-n，
所以Tn=(1·21-1)+(2·22-2)+(3·23-3)+…+(n·2n-n)，
Tn=(1·21+2·22+3·23+…+n·2n)-(1+2+3+…+n).
令Sn=1·21+2·22+3·23+…+n·2n，①
2Sn=1·22+2·23+3·24+…+n·2n+1，②
①-②，得-Sn=21+22+23+…+2n-n·2n+1，
-Sn=-n·2n+1，
Sn=2(1-2n)+n·2n+1=2+(n-1)·2n+1，
所以Tn=2+(n-1)·2n+1-(n∈N*).
题型三 倒序相加法求和
例3 已知函数f(x)=(x∈R).
(1)证明：f(x)+f(1-x)=;
(2)若数列{an}的通项公式为an=f()(m∈N*，n=1,2，…，m)，求数列{an}的前m项和Sm;
(3)设数列{bn}满足b1=，bn+1=b+bn，Tn=++…+，若(2)中的Sm满足对不小于2的任意正整数m，Sm0，
则==-，
即=-，
所以Tn=(-)+(-)+…+(-)
=-=3-.
因为bn+1-bn=b>0，
所以bn+1>bn，
即数列{bn}是单调递增数列.
所以Tn关于n递增，所以当n∈N*时，Tn≥T1.
因为b1=，b2=()2+=，
所以Tn≥T1=3-=.
由题意，知Sm<，即-<，解得m<，
所以正整数m的最大值为3.
题型四 裂项相消法求和
例4 在公差不为0的等差数列{an}中，a1，a4，a8成等比数列.
(1)已知数列{an}的前10项和为45，求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=，且数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn=-，求数列{an}的公差.
破题切入点 (1)列方程组(两个条件)确定an.
(2)可以采用裂项相消法求得含有公差的表达式，再和已知Tn=-对比求得公差.
解 设数列{an}的公差为d，
由a1，a4，a8成等比数列可得
a=a1·a8，即(a1+3d)2=a1(a1+7d)，
∴a+6a1d+9d2=a+7a1d，而d≠0，∴a1=9d.
(1)由数列{an}的前10项和为45可得
S10=10a1+d=45，
即90d+45d=45，故d=，a1=3，
故数列{an}的通项公式为an=3+(n-1)·
=(n+8).
(2)bn==，
则数列{bn}的前n项和为
Tn=[++…+]
=
=
=
=-.
所以=1，d=±1.
故数列{an}的公差d=1或-1.
总结提高 数列求和的主要方法有：
(1)分组求和法：一个数列既不是等差数列也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，即能分别求和，然后再合并，或对字母n分类讨论后再求和.
(2)错位相减法：这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，主要用于求{an·bn}的前n项和，其中{an}和{bn}分别是等差数列和等比数列.
(3)倒序相加法： 这是推导等差数列前n项和时所用的方法，将一个数列倒过来排序，如果原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和.
(4)裂项相消法：把数列和式中的各项分别裂开后，消去一部分从而计算和的方法，适用于求通项为的前n项和，其中{an}若为等差数列，则=·(-).
其余还有公式法求和等.
