江苏高考专题练习（理科）：直线、平面垂直的判定及其性质

　　[A级　基础达标练]

　　一、填空题

　　1.给出下列四个命题：

　　(1)若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直;

　　(2)若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直;

　　(3)若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在直线;

　　(4)若直线垂直于梯形两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在直线.

　　其中正确的命题共有________个.

　　[解析]　(1)中没有指明是两条相交直线，故错;(2)能根据平面的垂线定义知正确;(3)中梯形的两腰所在直线必相交，故正确;(4)中梯形两底边所在的直线为平行直线，故错.

　　[答案]　2

　　2.(2013·广东高考改编)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是______(填序号).

　　若αβ，mα，nβ，则mn;

　　若αβ，mα，nβ，则mn;

　　若mn，mα，nβ，则αβ;

　　若mα，mn，nβ，则αβ.

　　[解析]　如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，平面BCC1B1平面ABCD，BC1平面BCC1B1，BC平面ABCD，而BC1不垂直于BC，故错误.

　　平面A1B1C1D1平面ABCD，B1D1平面A1B1C1D1，AC平面ABCD，但B1D1和AC不平行，故错误.

　　ABA1D1，AB平面ABCD，A1D1平面A1B1C1D1，但平面A1B1C1D1平面ABCD，故错误.由线面垂直性质及面面垂直的判定，正确.

　　[答案]

　　3.PA垂直于正方形ABCD所在平面，连结PB，PC，PD，AC，BD，则一定互相垂直的平面是________.(填写正确命题的序号)

　　平面PAB平面PBC;平面PAB平面PAD;

　　平面PAB平面PCD;平面PAB平面PAC.

　　[解析]　BC⊥平面PAB，平面PBC平面PAB，

　　正确，同理AD平面PAB，

　　平面PAD平面PAB，正确.

　　[答案]

　　4.(2014·辽宁高考)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面.下列说法正确的是________(填序号)

　　若mα，nα，则mn;

　　若mα，nα，则mn;

　　若mα，mn，则nα;

　　若mα，mn，则nα.

　　[解析]　中m和n可以平行，相交异面，故错;中由线面垂直的性质知正确;中，n可以在平面内，故错;中，n可以和这个平面平行，相交，也可以在平面内，故错.

　　[答案]

　　5.(2013·浙江高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是________(填序号)

　　若mα，nα，则mn;

　　若mα，mβ，则αβ;

　　若mα，mα，则nα;

　　若mα，αβ，则mβ.

　　[解析]　中的m，n可以相交也可异面故错;中α和β可以相交故错;中的m与β可以平行，相交，也可在β内，故错.

　　[答案]

　　6.P为ABC所在平面外一点，AC=a，PAB，PBC都是边长为a的等边三角形，则平面ABC和平面PAC的位置关系为________.

　　[解析]　如图所示，PA=PB=PC=AB=BC=a，

　　取AC中点D，连结PD、BD，

　　则PDAC，BDAC.

　　又AC=a，PD=BD=a，

　　在PBD中，PB2=BD2+PD2，

　　PDB=90°，PD⊥BD，PD⊥平面ABC.

　　又PD平面PAC，

　　平面PAC平面ABC.

　　[答案]　垂直

　　图7­4­10

　　7.如图7­4­10所示，在四棱锥P­ABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可).

　　[解析]　由定理可知，BDPC.

　　∴当DMPC时，即有PC平面MBD，

　　而PC平面PCD.

　　平面MBD平面PCD.

　　[答案]　DMPC(答案不唯一)

　　8.如图7­4­11，已知正四面体ABCD的棱长为a，E为AD的中点，连结CE，则CE与底面BCD所成角的正弦值为________.

　　图7­4­11

　　[解析]　分别过点A，E作AO平面BCD，EH平面BCD，由题意知，O、H、D共线，连结CH，则ECH即为CE与底面BCD所成的角，OD=a×=a，AO==a，EH=AO=a，CE=a，

　　所以sinECH==.

　　[答案]

　　二、解答题

　　9.如图7­4­12，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点，E为BD的中点，F在AC1上，且AC1=4AF.

　　图7­4­12

　　(1)求证：平面ADF平面BCC1B1;

　　(2)求证：EF平面ABB1A1.

　　[解]　(1)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，CC1平面ABC，而AD平面ABC，所以CC1AD.

　　又AB=AC，D为BC的中点，所以ADBC.

　　因为BC∩CC1=C，BC平面BCC1B1，CC1平面BCC1B1，所以AD平面BCC1B1，

　　又AD平面ADF，所以平面ADF平面BCC1B1.

　　(2)连结CF并延长交AA1于点G，连结GB.

　　因为AC1=4AF，AA1CC1，所以CF=3FG.

　　因为D为BC的中点，E为BD的中点，

　　所以CE=3EB，所以EFGB.

　　又EF平面ABB1A1，GB平面ABB1A1，

　　所以EF平面ABB1A1.

　　10.(2014·江苏高考)如图7­4­13，在三棱锥P­ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.已知PAAC，PA=6，BC=8，DF=5.

　　图7­4­13

　　求证：(1)直线PA平面DEF;

　　(2)平面BDE平面ABC.

　　[证明]　(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DEPA.

　　又因为PA平面DEF，DE平面DEF，

　　所以直线PA平面DEF.

　　(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA=6，BC=8，所以DEPA，DE=PA=3，EF=BC=4.

　　又因为DF=5，故DF2=DE2+EF2，

　　所以DEF=90°，即DEEF.

　　又PAAC，DEPA，所以DEAC.

　　因为AC∩EF=E，AC平面ABC，EF平面ABC，

　　所以DE平面ABC.

　　又DE平面BDE，

　　所以平面BDE平面ABC.