[A级 基础达标练]
一、填空题
1.已知A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)，则这四个点________(填共面或不共面).
[解析] =(3,4,5)，=(1,2,2)，=(9,14,16)，
设=x+y，即(9,14,16)=(3x+y,4x+2y,5x+2y)，得x=2，y=3.
[答案] 共面
2.(2014·济南调研)在下列命题中：
若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行;
若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面;
若三个向量a，b，c，两两共面，则向量a，b，c共面;
已知空间的三个向量a，b，c.则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z得p=xa+yb+zc.
其中不正确的命题是________(填序号).
[解析] a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故不正确.根据平移向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故错误.三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故不正确.只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p=xa+yb+zc，故不正确.
[答案]
3.已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC中点，设=a，OB=b，=c，则=________.(用a，b，c表示)
[解析] =-=(+)-
=b+c-a.
[答案] b+c-a
4.(2012·上海高考)若a，b，c为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是________.(填序号)
(a+b)·c=a·c+b·c;(a+b)+c=a+(b+c);m(a+b)=ma+nb;(a·b)·c=a·(b·c).
[解析] (a·b)·c=|a|·|b|cos θ·c，a·(b·c)=|b|·|c|cos α·a，a与c的模不一定相等且不一定同向，故错.
[答案] (4)
5.已知P，A，B，C四点共面且对于空间任一点O都有=2++λ，则λ=________.
[解析] 根据共面向量知P，A，B，C四点共面，则=x+y+z，且x+y+z=1，所以2++λ=1，λ=-.
[答案] -
6.若向量a=(1，λ，2)，b=(2，-1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则λ等于________.
[解析] 由已知得==，
解得λ=-2或λ=.
[答案] -2或
7.(2014·徐州模拟)已知O点为空间直角坐标系的原点，向量=(1,2,3)，=(2,1,2)，=(1,1,2)，且点Q在直线OP上运动，当·取得最小值时，的坐标是________.
[解析] 点Q在直线OP上，设点Q(λ，λ，2λ)，
则=(1-λ，2-λ，3-2λ)，=(2-λ，1-λ，2-2λ)，
·=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10=62-.
当λ=时，·取得最小值-.
此时=.
[答案]
图756
8.如图756所示，已知空间四边形OABC，OB=OC，且AOB=AOC=，则cos〈，〉的值为________.
[解析] 设=a，=b，=c，
由已知条件〈a，b〉=〈a，c〉=，且|b|=|c|，
·=a·(c-b)=a·c-a·b
=|a||c|-|a||b|=0，即〈·〉=，
所以cos〈，〉=0.
[答案] 0
二、解答题
9.已知空间三点A(0,2,3)，B(-2,1,6)，C(1，-1,5)，
(1)求以，为边的平行四边形的面积;
(2)若|a|=，且a分别与，垂直，求a的坐标.
[解] (1)由题意可得：=(-2，-1,3)，=(1，-3,2)，
cos〈，〉===，
sin〈，〉=，
以，为边的平行四边形的面积为
S=2×||·||·sin〈，〉=14×=7.
(2)设a=(x，y，z)，由题意得
解得或
向量a的坐标为(1,1,1)或(-1，-1，-1).
图757
10.(2014·张家港调研)如图757，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，G为BC1D的重心，
(1)试证：A1，G，C三点共线;
(2)试证：A1C平面BC1D.
[证明] (1)=++=++，
可以证明：=(++)=，
∥，即A1，G，C三点共线.
(2)设=a，CD=b，=c，则|a|=|b|=|c|=a，
且a·b=b·c=c·a=0，
=a+b+c，=c-a，
·=(a+b+c)·(c-a)=c2-a2=0，
因此，即CA1BC1，
同理CA1BD，
又BD∩BC1=B，
A1C⊥平面BC1D.
