2017年甘肃高考数学基础提升训练（十）
一、选择题
1．设x，y∈R，且2y是1＋x和1－x的等比中项，则动点(x，y)的轨迹为除去 轴上点的（ ）
A．一条直线 B．一个圆 C．双曲线的一支 D．一个椭圆
2．已知△ABC的顶点A（0，－4），B（0，4），且4(sinB－sinA)＝3sinC，则顶点C的轨迹方程是 （ ）
A．x29－y27＝1(x＞3) B．x27－y29＝1(x＞7) C．y29－x27＝1(y＞3) D．y27－x29＝1(y＜－7)
3．现有一块长轴长为10分米，短轴长为8分米，形状为椭圆的玻璃镜子，欲从此镜中划块面积尽可能大的矩形镜子，则可划出的矩形镜子的最大面积为 （ ）
A．10平方分米 B．20平方分米 C．40平方分米 D．41平方分米
4．设A(x1，y1)，B(4，95)，C(x2，y2)是右焦点为F的椭圆x225＋y29＝1上三个不同的点，则"|AF|，|BF|，|CF|成等差数列"是"x1＋x2＝8"的 （ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既非充分也非必要
5．直线l：y＝k(x－2)＋2与圆C：x2＋y2－2x－2y＝0相切，则直线l的一个方向向量→v＝
（ ）
A．（2，－2） B．（1，1） C．（－3，2） D．（1，12）
6．已知椭圆E的离心率为e，两焦点为F1，F2，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，P为两曲线的一个交点，若|PF1||PF2|＝e，则e的值为 （ ）
A．33 B．32 C．22 D．63
7．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，过F1的直线 与椭圆相交于A、B两点。若∠AF1F2＝60 ，且→AF1·→AF2＝0，则椭圆的离心率为 （ ）
A．3＋1 B．3－1 C．2－3 D．4－3
8．如图一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于P，则点P形成的图形是( )
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆
9．如图，P是椭圆x225＋y29＝1上的一点，F是椭圆的左焦点，且→OQ＝12(→OP＋→OF)，|OQ→|＝4，则点P到该椭圆左准线的距离为 （ ）
A．6 B．4
C．3 D．52
10． (理科)设x1，x2∈R，a＞O，定义运算"*"：x1*x2＝(x1＋x2)2－(x1－x2)2，若x≥O，则动点P(x，x*a)的轨迹方程为 （ ）
A．y2＝4ax B．y2＝4ax(y≥0) C．y2＝－4ax D．y2＝－4ax(y≥0)
11．设集合A＝{(x，y)|x，y，1－x－y是三角形的三边长}，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分）是( )
A． B． C． D．
12．在平面直线坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（－4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆x225＋y29＝1上，则sinA＋sinCsinB＝ （ ）
A．45 B．－45 C．54 D．－54
13．若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点与椭圆x28＋y24＝1的右焦点重合，则 的值为_____________.
14．若点(1，1)到直线xcosα＋ysinα＝2的距离为d，则d的最大值是_______.
15．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，过F1的直线 与椭圆相交于A、B两点.若∠AF1F2＝60 ，且→AF1·→AF2＝0，则椭圆的离心率为______．
16．设A(1，0)，点C是曲线y＝1－x2(0≤x≤1)上异于A的点，CD⊥y轴于D，∠CAO＝θ(其中O为原点)，将|AC|＋|CD|表示成关于θ的函数f(θ)，则f(θ)＝_________.
三、解答题
17．在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－3y＝4相切．(1)求圆O的方程；(2)圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求→PA·→PB的取值范
围．
18．(08届麻城博达学校高三数学综合测试四)设⊙C1，⊙C2，…，⊙Cn是圆心在抛物线y＝x2上的一系列圆，它们的圆心的横坐标分别记为a1，a2，…，an，已知a1＝14，a1＞a2＞…＞an＞0，⊙Ck(k＝1，2，…n)都与x轴相切，且顺次逐个相邻外切(Ⅰ)求由a1，a2，…，an构成的数列{an}的通项公式；(Ⅱ)求证：a21＋a22＋…＋a2n＜14.
19．（08年泰兴市3月调研）已知⊙O：x2＋y2＝1和定点A(2，1)，由⊙O外一点P(a，b)向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|＝|PA|.(Ⅰ)求实数a，b间满足的等量关系；(Ⅱ)求线段PQ长的最小值；(Ⅲ)若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程.
20．已知定点A(－2，－4)，过点A作倾斜角为45 的直线l，交抛物线
y2＝2px(p＞0)于B、C两点，且|BC|＝210．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）中的抛物线上是否存在点D，使得|DB|＝|DC|成立？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
21．已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M(1，2)，它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点是坐标原点.(Ⅰ)求这三条曲线的方程；(Ⅱ)已知动直线l过点P(3，0)，交抛物线于A、B两点，是否存在垂直于x轴的直线l 被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.
22．椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知F1、F2、B1、B2四点共圆，且点N（0，3）到椭圆上的点最远距离为52.(Ⅰ)求此时椭圆C的方程；(Ⅱ)设斜率为k（k≠0）的直线m与椭圆C相交于不同的两点E、F，Q为EF的中点，问E、F两点能否关于过点P（0，33）、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由．
