12.已知数列{an}是公比大于1的等比数列，对任意的nN*，有an+1=a1+a2+…+an-1+an+.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}满足：bn=(log3 a1+log3 a2+…+log3 an+log3 t)(nN*)，若{bn}为等差数列，求实数t的值及数列{bn}的通项公式.
解析：(1)解法一：设{an}的公比为q，
则由题设，得
即
由-，得a1q2-a1q=-a1+a1q，
即2a1q2-7a1q+3a1=0.
a1≠0， 2q2-7q+3=0，
解得q=(舍去)或q=3.
将q=3代入，得a1=1，
an=3n-1.
解法二：设{an}的公比为q，则由已知，得
a1qn=+a1qn-1+，
即a1qn=qn-+，
比较系数得
解得(舍去)或 an=3n-1.
(2)由(1)，得
bn=(log3 30+log3 31+…+log3 3n-1+log3 t)
=[1+2+…+(n-1)+log3 t]
=
=+log3 t.
{bn}为等差数列，
bn+1-bn等于一个与n无关的常数，
而bn+1-bn=-+log3 t
=-log3 t，
log3 t=0， t=1，此时bn=.
13.已知数列{an}的前n项和Sn=-an-n-1+2(nN*)，数列{bn}满足bn=2n·an.
(1)求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式;
(2)设cn=log2，数列的前n项和为Tn，求满足Tn<(nN*)的n的最大值.
解析：(1)证明：在Sn=-an-n-1+2中，
令n=1，可得S1=-a1-1+2=a1，得a1=.
当n≥2时，Sn-1=-an-1-n-2+2，
an=Sn-Sn-1=-an+an-1+n-1，
即2an=an-1+n-1.
2n·an=2n-1·an-1+1.
bn=2n·an， bn=bn-1+1.
又b1=2a1=1， {bn}是以1为首项，1为公差的等差数列.
于是bn=1+(n-1)·1=n， an=.
(2) cn=log2=log22n=n，
==-.
Tn=++…+=1+--.
由Tn<，得1+--<，即+>，f(n)=+单调递减，
f(3)=，f(4)=，f(5)=，
n的最大值为4.
