(理)设函数f(x)=xn+bx+c(nN+,b、cR).
(1)设n≥2,b=1,c=-1,证明:f(x)在区间(,1)内存在唯一零点;
(2)设n为偶数,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,求b+3c的最小值和最大值;
(3)设n=2,若对任意x1、x2[-1,1],有|f(x1)-f(x2)|≤4,求b的取值范围.
[分析] (1)利用零点存在性定理先判断f().f(1)的正负,再用导数判断函数的单调性;
(2)利用线性规划或构造不等式均可解决;
(3)对任意x1,x2[-1,1],都有≤4,即f(x)的最大值与最小值的差M≤4.
[解析] (1)当b=1,c=-1,n≥2时,f(x)=xn+x-1.
f()f(1)=(-)×1<0,
f(x)在(,1)内存在零点.
又当x(,1)时,f ′(x)=nxn-1+1>0,
f(x)在(,1)上是单调递增的,
f(x)在(,1)内存在唯一零点.
(2)解法1:由题意知
即
作出可行域如图,
由图形知,b+3c在点(0,-2)处取到最小值-6,
在点(0,0)处取到最大值0,
b+3c的最小值为-6,最大值为0.
解法2:由题意知
-1≤f(1)=1+b+c≤1,即-2≤b+c≤0,
-1≤f(-1)=1-b+c≤1,即-2≤-b+c≤0,
①×2+得
-6≤2(b+c)+(-b+c)=b+3c≤0,
当b=0,c=-2时,b+3c=-6;当b=c=0时,b+3c=0,
所以b+3c的最小值为-6,最大值为0.
解法三:由题意知
解得b=,c=,
b+3c=2f(1)+f(-1)-3.
又-1≤f(-1)≤1,-1≤f(1)≤1,
-6≤b+3c≤0,
当b=0,c=-2时,b+3c=-6;
当b=c=0时,b+3c=0,
所以b+3c的最小值为-6,最大值为0.
(3)当n=2时,f(x)=x2+bx+c.
对任意x1、x2[-1,1]都有|f(x1)-f(x2)|≤4等价于f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值之差M≤4.据此分类讨论如下:
()当||>1,即|b|>2时,M=|f(1)-f(-1)|=2|b|>4,与题设矛盾.
()当-1≤-<0,即0