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2015届高考数学(二轮复习)同步训练:《不等式与线性规划》_第4页

中华考试网  2015-02-06  【

  (理)设函数f(x)=xn+bx+c(nN+,b、cR).

  (1)设n≥2,b=1,c=-1,证明:f(x)在区间(,1)内存在唯一零点;

  (2)设n为偶数,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,求b+3c的最小值和最大值;

  (3)设n=2,若对任意x1、x2[-1,1],有|f(x1)-f(x2)|≤4,求b的取值范围.

  [分析] (1)利用零点存在性定理先判断f().f(1)的正负,再用导数判断函数的单调性;

  (2)利用线性规划或构造不等式均可解决;

  (3)对任意x1,x2[-1,1],都有≤4,即f(x)的最大值与最小值的差M≤4.

  [解析] (1)当b=1,c=-1,n≥2时,f(x)=xn+x-1.

  f()f(1)=(-)×1<0,

  f(x)在(,1)内存在零点.

  又当x(,1)时,f ′(x)=nxn-1+1>0,

  f(x)在(,1)上是单调递增的,

  f(x)在(,1)内存在唯一零点.

  (2)解法1:由题意知

  即

  作出可行域如图,

  由图形知,b+3c在点(0,-2)处取到最小值-6,

  在点(0,0)处取到最大值0,

  b+3c的最小值为-6,最大值为0.

  解法2:由题意知

  -1≤f(1)=1+b+c≤1,即-2≤b+c≤0,

  -1≤f(-1)=1-b+c≤1,即-2≤-b+c≤0,

  ①×2+得

  -6≤2(b+c)+(-b+c)=b+3c≤0,

  当b=0,c=-2时,b+3c=-6;当b=c=0时,b+3c=0,

  所以b+3c的最小值为-6,最大值为0.

  解法三:由题意知

  解得b=,c=,

  b+3c=2f(1)+f(-1)-3.

  又-1≤f(-1)≤1,-1≤f(1)≤1,

  -6≤b+3c≤0,

  当b=0,c=-2时,b+3c=-6;

  当b=c=0时,b+3c=0,

  所以b+3c的最小值为-6,最大值为0.

  (3)当n=2时,f(x)=x2+bx+c.

  对任意x1、x2[-1,1]都有|f(x1)-f(x2)|≤4等价于f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值之差M≤4.据此分类讨论如下:

  ()当||>1,即|b|>2时,M=|f(1)-f(-1)|=2|b|>4,与题设矛盾.

  ()当-1≤-<0,即0

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