三、解答题
9.(2013·杭州质检)已知函数f(x)=-x3+ax(a>0).
(1)当a=1时,求过点P(-1,0)且与曲线y=f(x)相切的直线方程;
(2)当x[0,1]时,不等式x-≤f(x)≤x+恒成立,求a的取值集合.
[解析] (1)a=1时,f(x)=-x3+x,则f ′(x)=-3x2+1,
设切点T(x0,y0),则f ′(x0)=-3x+1,
切线方程为y-y0=f ′(x0)(x-x0),
即y-(-x+x0)=(-3x+1)(x-x0).
把(-1,0)代入得(x0+1)2(2x0-1)=0,
x0=-1或x0=.
当x0=-1时,切线方程为y=-2x-2;
当x0=时,切线方程为y=x+.
(2)不等式x-≤f(x)≤x+,
即x-≤-x3+ax≤x+,
当x=0时,不等式显然成立.
当x(0,1]时,不等式化为-+x2≤a≤++x2,
设g(x)=-+x2,h(x)=++x2,
则g′(x)=+2x>0,g(x)在(0,1]上单调递增,
g(x)max=g(1)=1,h′(x)=,
h(x)在(0,]上单调递减,在(,1]上单调递增,
h(x)min=h()=1,
1≤a≤1,a=1.
综上知,a的取值集合为{1}.