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2015届高考数学(二轮复习)同步训练:《不等式与线性规划》_第3页

中华考试网  2015-02-06  【

  三、解答题

  9.(2013·杭州质检)已知函数f(x)=-x3+ax(a>0).

  (1)当a=1时,求过点P(-1,0)且与曲线y=f(x)相切的直线方程;

  (2)当x[0,1]时,不等式x-≤f(x)≤x+恒成立,求a的取值集合.

  [解析] (1)a=1时,f(x)=-x3+x,则f ′(x)=-3x2+1,

  设切点T(x0,y0),则f ′(x0)=-3x+1,

  切线方程为y-y0=f ′(x0)(x-x0),

  即y-(-x+x0)=(-3x+1)(x-x0).

  把(-1,0)代入得(x0+1)2(2x0-1)=0,

  x0=-1或x0=.

  当x0=-1时,切线方程为y=-2x-2;

  当x0=时,切线方程为y=x+.

  (2)不等式x-≤f(x)≤x+,

  即x-≤-x3+ax≤x+,

  当x=0时,不等式显然成立.

  当x(0,1]时,不等式化为-+x2≤a≤++x2,

  设g(x)=-+x2,h(x)=++x2,

  则g′(x)=+2x>0,g(x)在(0,1]上单调递增,

  g(x)max=g(1)=1,h′(x)=,

  h(x)在(0,]上单调递减,在(,1]上单调递增,

  h(x)min=h()=1,

  1≤a≤1,a=1.

  综上知,a的取值集合为{1}.

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