一级结构工程师结构力学考点讲义：第四节_第2页

　　二、力法的基本原理

　　(一)力法基本结构和基本体系

　　去除超静定结构的多余约束，代以相应的未知力Xi (i=1、2、…、n)，Xi 称为多余未知力或基本未知力，其方向可以任意假定。去除多余约束后的结构称为力法基本结构。力法基本结构在各多余未知力、外荷载(有时还有温度变化、支座位移等)共同作用下的体系称为力法基本体系，它是用力法计算超静定结构的基础。

　　选取力法基本结构应注意下面两点：

　　1.基本结构一般为静定结构，即无多余约束的几何不变体系。有时当简单超静定结构的解为已知时，也可以将它作为复杂超静定结构的基本结构，以简化计算。

　　2.选取的基本结构应使力法典型方程中的系数和自由项的计算尽可能简便，并尽量使较多的副系数和自由项等于零。

　　(二)力法典型方程及其意义

　　根据原结构在荷载、温度变化、支座位移等因素作用下产生的已知位移与基本结构在各多余未知力以及与原结构相同的荷载、温度变化、支座位移等因素作用下产生的位移必须相同的条件，由叠加原理，可得n次超静定结构的力法典型方程为

　　式中 Xi 为多余未知力(i=1、2、…、，2);δij钆为基本结构仅由Xj=1 为多余未知力(j=1、2、…、n)产生的沿Xi 方向的位移、为基本结构的柔度系数;Δip、Δit、Δic分别为基本结构仅由荷载、温度变化、支座位移产生的沿Xi 方向的位移，为力法典型方程的自由项;Δi为原超静定结构在荷载、温度变化、支座位移作用下的已知位移(如结构边界处的已知支座位移条件、杆件变形后的已知位移连续条件等)。

　　力法典型方程(4—1)也称为变形协调方程。其中第一个方程表示基本结构在n个多余未知力、荷载、温度变化、支座位移等共同作用下，在Xl作用点沿Xl作用方向产生的位移，等于原结构的已知相应位移Δ1;第二个方程表示基本结构在n个多余未知力、荷载、温度变化、支座位移共同作用下，在X2作用点沿X2作用方向产生的位移，等于原结构的已知相应位移Δ2。其余各式的意义可按此类推。

　　各多余未知力Xi的大小和方向必须受力法典型方程的约束，多余约束力与变形协调条件是一一对应的，故满足力法典型方程的各多余未知力的解是唯一真实的解。

　　同一超静定结构，可以选取不同的基本体系，其相应的力法典型方程也就表达了不同的变形协调条件。不管选取哪种基本体系，求得的最后内力总是相同的。

　　图4—2a所示体系为一次超静定结构，如取图4—2b所示的基本体系，则力法典型方程为δ11X1 +Δ1p=0;如取图4—2c所示的基本体系，则力法典型方程为δ11X1 +Δ1p= —X1l/EA。

　　图4-2

　　对于图4—2d所示的一次超静定结构，如取图4—2e、f所示的基本体系，则相应的力法典型方程分别为δ11X1 +Δ1p=0、δ11X1 +Δ1p= —X1/kN。

　　图4—3a所示一次超静定结构的支座B有已知的竖向位移a，如取图4—3b所示的基本体系，力法典型方程为δ11X1 = -a;如取图4—3c所示的基本体系，力法典型方程为δ11X1 +Δ1C=0。

　　图4-3

　　(三)系数和自由项的计算

　　力法典型方程中的系数和自由项都是静定基本结构仅由单位力、实际荷载、温度变化、支座位移产生的位移，它们均可按上述各自的定义，用相应的位移计算公式计算。

　　力法典型方程中的系数δii称为主系数，它们恒为正值;δij(i ≠ j)称为副系数，它们可为正值、负值、也可为零，根据位移互等定理有δij=δji;各自由项的值可为正值、负值、也可为零。

　　(四)计算超静定结构的内力

　　由力法典型方程求出各多余未知力Xi 后，将Xi 和原荷载作用在基本结构上，再根 据求作静定结构内力图的方法，作出基本结构的内力图就是超静定结构的内力图。或者也 可通过下述叠加方法，计算结构的最后内力。

　　式中Mi、Vi、Ni分别为Xi=1引起的基本结构的弯矩、剪力、轴力;Mp、Vp、Np分别为荷载引起的基本结构的弯矩、剪力、轴力。

　　对梁和刚架，通常的做法是先根据式(4—2)中的第一式求出各杆端弯矩，再用直杆弯矩图的叠加法作出各杆的弯矩图，然后根据弯矩图由静力平衡条件求出各杆端的剪力和轴力，并据此作出剪力图和轴力图。