参考答案
1.C 2.A 3.B 4.B 5.D
6.C 设△ABC外接圆半径为r,则2r==16,
所以r=8,所以球心到平面ABC的距离为
d==6,故选C.
7.C 根据函数f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,0<<π)的图象,可得A=1,T==+,ω=2,
再根据五点法作图,
可得2×(-)+=0,
求得=,故f(x)=sin(2x+).
故把y=sin x的图象向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,即可得到f(x)的图象.
8.A 由约束条件画出可行域如图(阴影部分).
当直线2x-y-z=0经过点A(-1,)时,zmin=-.故选A.
9.C 初始:n=1,p=1,第一次:n=2,p=1+3=4;第二次:n=3,p=1+3+5=9;第三次:n=4,p=1+3+5+7=16;第四次:n=5,p=1+3+5+7+9=25>20,则输出n=5,故选C.
10.C 作出图象(图略),设PM=2,则PF转化为P到准线的距离,在直角三角形NMP中,PN=,易知PF=,则=.
11.C 由三视图可得该几何体是底面是边长为4的正方形,有一个侧面垂直于底面且高为2的四棱锥,其外接球,与以俯视图为底面,以4为高的直三棱柱的外接球相同,由底面底边长为4,高为2,故底面为等腰直角三角形,可得底面外接圆的半径为r=2,由棱柱高为4,故外接球半径为R==2,
所以外接球的表面积
S=4πR2=4π(2)2=32π.故选C.
12.C 当x∈[0,1)时,f(x)=x,
当x∈[1,2)时,f(x)=x-1,
当x∈[2,3)时,f(x)=x-2,
当x<0时,f(x)=f(x+1),T=1,
画出f(x)的图象如图.
直线y=kx+k=k(x+1)过定点(-1,0),
过点A(2,1)时,k=,有2个交点,
过点B(3,1)时,k=,有3个交点,
因为直线y=kx+k(k>0)与y=f(x)的图象恰有3个交点,
所以k∈[,).
13.200
14.解析:F(a)+F(c)=(a-b)f(a-b)+2 016+(c-b)f(c-b)+2 016,
因为b是a,c的等差中项,
故a-b=-(c-b),
设函数g(x)=xf(x),
则g(-x)=-xf(-x)=-xf(x)=-g(x),
故g(x)=xf(x)为奇函数,
从而(a-b)f(a-b)+(c-b)f(c-b)=0,
所以F(a)+F(c)=4 032.
答案:4 032
15.解析:设F1(c,0),由椭圆方程得F(0,2m),则线段FF1的中点P(,m).
因为点P在椭圆上,所以+=1.
解得m=c,又点P(,c)在双曲线C的渐近线y=x上,所以=,
所以离心率e==.
答案:
16.解析:以A为原点,以AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.
设正方形ABCD的边长为1.
则E(,0),C(1,1),D(0,1),A(0,0),
所以=(1,1),
设P(cos θ,sin θ)(0≤θ≤),
由向量=λ+μ,
所以λ(,-1)+μ(cos θ,sin θ)=(λ+μcos θ,-λ+μsin θ)=(1,1),
所以
所以
所以λ+μ=
=-1+,
令f(θ)=-1+,
则f′(θ)=>0,
所以f(θ)为增函数,
当θ=0时λ+μ取最小值为.
答案:
17.解:(1)因为c2=a2+b2-2abcos C=1+4-4×=4,
所以c=2.所以△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5.
(2)因为cos C=,
所以sin C=
=
=.
所以sin A===.
因为a0得sin x-ax>0,
因为0g(1)=sin 1,
所以a≤sin 1.
即实数a的取值范围是(-∞,sin 1].
(2)证明:因为h(x)=xln x-x-cos x,
所以h′(x)=ln x+sin x,
当x∈[1,e]时,ln x≥0,sin x>0,
所以h′(x)>0;
当x∈(e,+∞)时,ln x>1,sin x≥-1,
所以h′(x)>0;
当x∈(0,1)时,令y=ln x+sin x,
则y′=+cos x>0,
所以y=ln x+sin x在(0,1)上单调递增.
再由ln 2>sin ,ln <知,
h′()=ln +sin <0,
h′()=ln+sin >0,
故存在x0∈(,)使得h′(x0)=0,
且当x∈(0,x0)时,h′(x)<0,当x∈(x0,1)时,h′(x)>0.
综上可知,当x∈(0,x0)时,
h′(x)<0,h(x)在(0,x0)上单调递减;
当x∈(x0,+∞)时,h′(x)>0,h(x)在(x0,+∞)上单调递增.
所以h(x)存在唯一极值点x=x0.
22.解:(1)将代入ρ2-4ρcos θ+3=0,得(x-2)2+y2=1.
(2)由题设可知,C2是过坐标原点,倾斜角为的直线,
因此C2的极坐标方程为θ=或θ=,ρ>0,
将θ=代入C1:ρ2-2ρ+3=0,解得ρ=.
同理,将θ=,代入C1得ρ=-,不合题意.
故C1,C2公共点的极坐标为(,).
23.解:(1)因为f(x)≥5⇔|x-1|+|x-4|≥5,
所以或
或
解得x≤0或x≥5,
故不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤0或x≥5}.
(2)因为f(x)=|x-1|+|x-a|≥|(x-1)-(x-a)|=|a-1|(当(x-1)(x-a)≤0时等号
成立),
所以f(x)min=|a-1|,
由题意得,|a-1|≤4,解得-3≤a≤5.
所以a的取值范围为[-3,5].
