1.已知sinα=5(5)，sin(α-β)=-10(10)，α、β均为锐角，则β等于________.
解析：∵α、β均为锐角，∴-2(π)<α-β<2(π)，∴cos(α-β)==10(10).
∵sinα=5(5)，∴cosα= 2(5)=5(5).
∴sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)=2(2).
∵0<β<2(π)，∴β=4(π).答案：4(π)
2.已知0<α<2(π)<β<π，cosα=5(3)，sin(α+β)=-5(3)，则cosβ的值为________.
解析：∵0<α<2(π)，2(π)<β<π，∴2(π)<α+β<2(3)π.∴sinα=5(4)，cos(α+β)=-5(4)，
∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=(-5(4))×5(3)+(-5(3))×5(4)=-25(24).答案：-25(24)
3.如果tanα、tanβ是方程x2-3x-3=0的两根，则α-β(α+β)=________.
解析：tanα+tanβ=3，tanαtanβ=-3，则α-β(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ(sinαcosβ+cosαsinβ)
=1+tanαtanβ(tanα+tanβ)=1-3(3)=-2(3).答案：-2(3)
4.已知cos(α-6(π))+sinα=5(4)，则sin(α+6(7π))的值是___.
解析：由已知得2(3)cosα+2(1)sinα+sinα=5(4)，即2(1)cosα+2(3)sinα=5(4)，
得sin(α+6(π))=5(4)，sin(α+6(7)π)=-sin(α+6(π))=-5(4).答案：-5(4)
5.(原创题)定义运算a?b=a2-ab-b2，则sin12(π)?cos12(π)=________.
解析：sin12(π)?cos12(π)=sin212(π)-sin12(π)cos12(π)-cos212(π)=-(cos212(π)-sin212(π))-2(1)×2sin12(π)cos12(π)=-cos6(π)-2(1)sin6(π)=-4(3).答案：-4(3)
6.已知α∈(2(π)，π)，且sin2(α)+cos2(α)=2(6).
(1)求cosα的值;(2)若sin(α-β)=-5(3)，β∈(2(π)，π)，求cosβ的值.
解：(1)因为sin2(α)+cos2(α)=2(6)，两边同时平方得sinα=2(1).
又2(π)<α<π.所以cosα=-2(3).
(2)因为2(π)<α<π，2(π)<β<π，所以-π<-β<-2(π)，故-2(π)<α-β<2(π).
又sin(α-β)=-5(3)，得cos(α-β)=5(4).
cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)
=-2(3)×5(4)+2(1)×(-5(3))=-10(3+3).
7.1+sin2α(cos2α)·1-tanα(1+tanα)的值为________.
解析：1+sin2α(cos2α)·1-tanα(1+tanα)=2(cos2α-sin2α)·1-tanα(1+tanα)
=sinα+cosα(cosα-sinα)·1-tanα(1+tanα)=1+tanα(1-tanα)·1-tanα(1+tanα)=1.
8.已知cos(4(π)+x)=5(3)，则1-tanx(sin2x-2sin2x)的值为________.
解析：∵cos(4(π)+x)=5(3)，∴cosx-sinx=5(3)，
∴1-sin2x=25(18)，sin2x=25(7)，∴1-tanx(sin2x-2sin2x)=cosx(cosx-sinx)=sin2x=25(7).
9.已知cos(α+3(π))=sin(α-3(π))，则tanα=________.
解析：cos(α+3(π))=cosαcos3(π)-sinαsin3(π)=2(1)cosα-2(3)sinα，sin(α-3(π))
=sinαcos3(π)-cosαsin3(π)=2(1)sinα-2(3)cosα，
由已知得：(2(1)+2(3))sinα=(2(1)+2(3))cosα，tanα=1.
10设α∈(4(π)，4(3π))，β∈(0，4(π))，cos(α-4(π))=5(3)，sin(4(3π)+β)=13(5)，则sin(α+β)=________.
解析：α∈(4(π)，4(3π))，α-4(π)∈(0，2(π))，又cos(α-4(π))=5(3)，∴sin(α-4(π))=5(4).
∵β∈(0，4(π))，∴4(3π)+β∈(4(3π)，π).∵sin(4(3π)+β)=13(5)，∴cos(4(3π)+β)=-13(12)，
∴sin(α+β)=-cos[(α-4(π))+(4(3π)+β)]
=-cos(α-4(π))·cos(4(3π)+β)+sin(α-4(π))·sin(4(3π)+β)=-5(3)×(-13(12))+5(4)×13(5)=65(56)，
即sin(α+β)=65(56).
