[A级 基础达标练]
一、填空题
1.在ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则·=________.
[解析] 如图所示,=+,=+=-,
·=(+)·(-)
=2-2=||2-||2=9-25=-16.
[答案] -16
2.已知非零向量a,b满足|a|=|a+b|=1,a与b的夹角为120°,则b的模为________.
[解析] 由|a+b|=1得|a|2+2a·b+|b|2=1.设|b|=x(x>0).由|a|=1及〈a,b〉=120°得1+2·1·x·cos 120°+x2=1,解得x=1(x=0舍去),故|b|=1.
[答案] 1
3.在RtABC中,C=,AC=3,取点D,使=2,则·=________.
[解析] 如图所示,=+,
又=2=,
=+=+(-),
因此=+,
由C=,知·=0,且AC=3,
则·=·
=+·=6.
[答案] 6
4.已知向量a、b满足|a|=1,|b|=4,且a·b=2,则a与b的夹角为________.
[解析] 向量a、b满足|a|=1,|b|=4,且a·b=2,
设a与b的夹角为θ,则cos θ==,θ=.
[答案]
5.若向量a,b,c满足a∥b,且b·c=0,则(2a+b)·c=________.
[解析] a∥b,b=λa.
又b·c=0,a·c=0,
(2a+b)·c=2a·c+b·c=0.
[答案] 0
6.(2014·苏州市调研)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b·c=0,则实数t的值为________.
[解析] 由b·c=0,得ta·b+(1-t)b2=0t·1·1·cos 60°+(1-t)·12=0t=2.
[答案] 2
7.(2014·兴化月考)若向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且a,b的夹角为,则|a+b|=________.
[解析] a·b=|a||b|cos=1,|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=1+2+4=7,所以|a+b|=.
[答案]
8.(2014·扬州月考)已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为120°,a+b+c=0,则a与c的夹角为________.
[解析] 易知c=-(a+b),因此a·c=-a·(a+b)=-a2-a·b,而根据已知,这是可求的,而且其结果是0,故a⊥c,夹角为90°.
[答案] 90°
二、解答题
9.(2014·启东中学期中检测)已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).
(1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐标;
(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角.
[解] (1)设c=(x,y),由c∥a及|c|=2得
或
所以c=(2,4)或c=(-2,-4).
(2)a+2b与2a-b垂直,(a+2b)·(2a-b)=0,
即2a2+3a·b-2b2=0,a·b=-,
cos θ==-1,θ∈[0,π],θ=π.
10.已知|a|=4,|b|=3,(2a-2b)·(2a+b)=61,
(1)求a与b的夹角θ;
(2)求|a+b|;
(3)若=a,=b,求ABC的面积.
[解] (1)(2a-3b)·(2a+b)=61,
4|a|2-4a·b-3|b|2=61.
又|a|=4,|b|=3,64-4a·b-27=61,
a·b=-6.
cos θ===-.
又0≤θ≤π,θ=.
(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2
=42+2×(-6)+32=13,
|a+b|=.
(3)与的夹角θ=,ABC=π-=.
又||=|a|=4,||=|b|=3,
S△ABC=||||sinABC=×4×3×=3.