一、填空题
1.把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图).
则第7个三角形数是________.
[解析] 由题图可知，第7个三角形数是1+2+3+4+5+6+7=28.
[答案] 28
2.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn+Sm=Sn+m，且a1=1，那么a10=________.
[解析] a10=S10-S9=(S9+S1)-S9=S1=a1=1.
[答案] 1
3.(2014·苏州中学检测)已知数列{an}中，anN*，对于任意nN*，an≤an+1，若对于任意正整数k，在数列中恰有k个k出现，求a50=________.
[解析] 从定义可知数列{an}不是递减数列，小的数一定在前面，故数列各项依次为1个1,2个2,3个3,4个4，…，k个k，由于1+2+3+…+9=45，说明a45=9，a46=10，又1+2+3+…+9+10=55，故a50=10.
[答案] 10
4.(2014·南京模拟)已知数列{an}中，an=n2+λn(λ是与n无关的实数常数)，且满足a1-3.
[答案] (-3，+∞)
5.已知a1=1，an=n(an+1-an)(nN*)，则数列{an}的通项公式an=________.
[解析] an=n(an+1-an)，=，
an=×××…×××a1
=×××…×××1=n.
[答案] n
6.已知a1=2，an+1-an=2n+1(nN*)，则an=________.
[解析] 由an+1-an=2n+1得an-an-1=2n-1，an-1-an-2=2n-3，…，a3-a2=5，a2-a1=3，
则an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1
=2+3+5+7+…+(2n-3)+(2n-1)
=2+=n2+1.
[答案] n2+1
7.(2014·广州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2，则a2等于________.
[解析] Sn=2an-2，a1=S1=2a1-2，a1=2，
S2=2a2-2=a1+a2，即a2=a1+2=4.
[答案] 4
8.数列{an}中，a1=1，对于所有的n≥2，nN*，都有a1·a2·a3·…·an=n2，则a3+a5=________.
[解析] 由题意知：a1·a2·a3…an-1=(n-1)2，
an=2(n≥2)，
a3+a5=2+2=.
[答案]
二、解答题
9.数列{an}的通项公式是an=n2-7n+6(nN*).
(1)这个数列的第4项是多少?
(2)150是不是这个数列的项?若是这个数列的项，它是第几项?
(3)该数列从第几项开始各项都是正数?
[解] (1)当n=4时，a4=42-4×7+6=-6.
(2)令an=150，即n2-7n+6=150，
解得n=16或n=-9(舍去)，
即150是这个数列的第16项.
(3)令an=n2-7n+6>0，解得n>6或n<1(舍).
n∈N*，数列从第7项起各项都是正数.
10.(1)已知数列{an}满足：a1=1，an=an-1+3n-1(n≥2，nN*)，求数列{an}的通项公式an;
(2)设{an}是首项为1的正数数列，且(n+1)a-na+an+1an=0(n=1,2,3，…)，求其通项公式an.
[解] (1)a1=1，an-an-1=3n-1，
an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-1-an-2)+(an-an-1)=1+3+32+…+3n-1==.即an=.
(2)由已知递推关系式分解因式可得：
(an+1+an)[(n+1)an+1-nan]=0.
又an>0，an+1+an≠0，
(n+1)an+1-nan=0，=，
an=a1···…·
=1····…··=.
即an=.
[B级 能力提升练]
一、填空题
1.已知数列{an}对于任意p，qN*，有ap+aq=ap+q，若a1=，则a36=________.
[解析] ap+q=ap+aq，
a36=a32+a4=2a16+a4=4a8+a4
=8a4+a4=18a2=36a1=4.
[答案] 4
2.(2014·扬州中学检测)设f1(x)=，fn+1(x)=f1[fn(x)]，且an=，则a2 014=________.
[解析] f1(0)=2，f2(0)==，f3(0)=，f4(0)=，…，
a1==，a2=-，a3=，a4=-，…，
可猜测a2 014=2 015.
实际上，an+1====-an，
即数列{an}是公比为-的等比数列，a2 014=×2 013=2 015.
[答案] 2 015
二、解答题
3.已知数列{an}中，a1=1，前n项和Sn=an.
(1)求a2，a3;
(2)求数列{an}的通项公式.
[解] (1)Sn=an，且a1=1，
S2=a2，即a1+a2=a2，得a2=3.
由S3=a3，得3(a1+a2+a3)=5a3，得a3=6.
(2)由题设知a1=1.
当n≥2时，有an=Sn-Sn-1=an-an-1，
整理得an=an-1，即=，
于是=3，=，=，…，=，
以上n-1个式子的两端分别相乘，得=，
an=，n≥2.
又a1=1适合上式，
故an=，nN*.
