考向1 抽样方法
【典例1】 (1)(2014·湖南高考改编)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则p1，p2，p3的大小关系为________.
(2)(2014·湖北高考)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件.
[解析] (1)不管用什么抽样方法，每一个个体被抽到的机会都相等，p1=p2=p3.
(2)设乙设备生产的产品总数为x件，则甲设备生产的产品总数为(4 800-x)件.由分层抽样特点，结合题意可得=，解得x=1 800.
[答案] (1)p1=p2=p3 (2)1 800,【规律方法】
1.进行分层抽样时应注意以下几点：
分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样本的差异要求，两层之间的样本差异要大，且互不重叠;为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同;在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样;抽样比==.
2.一般地，系统抽样是等距离抽样，若第一组抽取号码a，然后以d为间距依次等距离抽取后面的编号，抽出的所有号码为a+dk(k=0,1,2，…，n-1)，其中n是组数.
【变式训练1】 (1)(2014·天津高考)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为45∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生.
(2)(2013·江西高考改编)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为________.
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 [解析] (1)根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为×300=60.
(2)由随机数表法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08,02,14,07,01，所以第5个个体的编号是01.
[答案] (1)60 (2)01考向2 统计图表
【典例2】 (1)(2014·江苏高考改编)设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图923所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.
(2)(2013·重庆高考)如图924是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为________.
图924
[解析] (1)由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于100 cm的株数为(0.015+0.025)×10×60=24.
频率分布直方图中的纵坐标为，此处经常误认为纵坐标是频率.
(2)由落在[22,30)内的数据有4个，且共有10个数据，故频率为=0.4.
[答案] (1)24 (2)0.4,【规律方法】
1.解决频率分布直方图的问题，关键在于找出图中数据之间的联系.这些数据中，比较明显的有组距、，间接的有频率、小长方形的面积，合理使用这些数据，再结合两个等量关系：小长方形面积=组距×=频率，小长方形面积之和等于1，即频率之和等于1.
2.明确茎叶图的数据对处理样本的数据特征显得尤为重要，而方差可以衡量样本数据的稳定性.茎叶图刻画数据的优点：(1)所有数据信息都可用在茎叶图中看到;(2)茎叶图便于记录和表示，且能够展示数据的分布情况.
【变式训练2】 (1)
(2014·山东高考改编)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图925是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为________.
(2013·重庆高考改编)右面茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分).已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x+y=________.
[解析] (1)依据频率分布直方图及频率公式求解.志愿者的总人数为=50，所以第三组人数为50×0.36=18，有疗效的人数为18-6=12.
(2)由于甲组数据的中位数为15=10+x，
x=5.
又乙组数据的平均数为=16.8，
y=8.
故x+y=5+8=13.
[答案] (1)12 (2)13考向3 样本的数字特征(高频考点)
命题视角 求样本的数字特征是统计中常考的内容，主要命题角度有：
(1)求众数、中位数;
(2)求平均数、方差;
(3)由样本的数字特征估计概率.
【典例3】 (2014·课标全国卷)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民.根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：
甲部门 乙部门 3 59 4 4 0448 97 5 122456677789 97665332110 6 011234688 98877766555554443332100 7 00113449 6655200 8 123345 632220 9 011456 10 000 (1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数;
(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率;
(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.
[思路点拨] (1)把甲、乙两部门的数据根据茎叶图从小到大排列，可求出中位数，再估计总体中位数;(2)先分别计算甲、乙两部门得分大于90的人数，然后得出高于90的频率，再估计总体;(3)根据茎叶图估计它们的标准差，从而得出结论.
[解] (1)由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是75,75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.
50位市民对乙部门的评分由小到大排序后，排在第25,26位的是66,68，故样本中位数为=67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67.
(2)由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙两部门的评分高于90的比率分别为=0.1，=0.16，故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1,0.16.
(3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大.,【通关锦囊】
(1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量;
(2)由于平均数与每一个样本数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变.这是中位数、众数都不具有的性质;
(3)众数考查各数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题;
(4)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响.中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中.当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势;
(5)在实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位.
【变式训练3】 (2014·湖南高考)某企业有甲、乙两个研发小组.为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a，b)，(a，)，(a，b)，(，b)，(，)，(a，b)，(a，b)，(a，)，(，b)，(a，)，(，)，(a，b)，(a，)，(，b)，(a，b).其中a，分别表示甲组研发成功和失败;b，分别表示乙组研发成功和失败.
(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分.试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平;
(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率.
[解] (1)甲组研发新产品的成绩为
1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1，
其平均数为
甲==;
方差为
s==.
乙组研发新产品的成绩为
1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，
其平均数为
乙==;
方差为
s==.
因为甲>乙，s
