[A级 基础达标练]
一、填空题
1.奥运选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________________________________________________________________________种.
[解析] 分两步安排这8名运动员.
第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排，所以安排方式有4×3×2=24(种).
第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道上安排，所以安排方式有5×4×3×2×1=120种.
安排这8人的方式有24×120=2 880(种).
[答案] 2880
2.将一个四面体ABCD的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色，要求共端点的棱不能涂相同颜色，则不同的涂色方案有________种.
[解析] 因为只有三种颜色，又要涂六条棱，所以应该将四面体的对棱涂成相同的颜色.
故有3×2×1=6种涂色方案.
[答案] 6
3.(2011·北京高考)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个(用数字作答).
[解析] 用2,3组成四位数共有2×2×2×2=16(个)，其中不出现2或不出现3的共2个，
因此满足条件的四位数共有16-2=14(个).
[答案] 14
4.从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的有________个.
[解析] 以1为首项的等比数列为1,2,4;1,3,9;
以2为首项的等比数列为2,4,8;
以4为首项的等比数列为4,6,9.
把这四个数列顺序颠倒，又得到4个数列，
故所求数列有8个.
[答案] 8
5.集合P={x,1}，Q={y,1,2}，其中x，y{1,2,3，…，9}，且PQ.把满足上述条件的一个有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是________.
[解析] 当x=2时，x≠y，点的个数为1×7=7(个).
当x≠2时，由PQ，x=y.
x可从3,4,5,6,7,8,9中取，有7种方法.
因此满足条件的点共有7+7=14(个).
[答案] 14
6.某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B、C、D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3、5、6、8、9中选择，其他号码只想在1、3、6、9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有________种.
[解析] 按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二位号码有3种选法，其余三位号码各有4种选法.
因此车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4=960(种).
[答案] 960
图1013
7.如图1013所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个.
[解析] 把与正八边形有公共边的三角形分为两类：
第一类，有一条公共边的三角形共有8×4=32(个).
第二类，有两条公共边的三角形共有8个.
由分类加法计数原理知，共有32+8=40(个).
[答案] 40
8.只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，则这样的四位数有________个.
[解析] 由题意知，1,2,3中必有某一个数字重复使用2次，第一步确定谁被使用2次，有3种方法;第二步把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，也有3种方法;第三步将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，有2种方法.故共可组成3×3×2=18个不同的四位数.
[答案] 18
二、解答题
图1014
9.如图1014，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数有多少种.
[解] 可依次种A，B，C，D四块，当C与A种同一种花时，有4×3×1×3=36(种)种法;当C与A所种花不同时，有4×3×2×2=48(种)种法.
由分类加法计数原理，不同的种法种数为36+48=84种.
10.电视台在“欢乐在今宵”节目中拿出两个信箱，其中放着竞猜中成绩优秀的观众来信，甲箱中有30封，乙箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先从中确定一名幸运之星，再从两箱中各确定一名幸运观众，有多少种不同结果?
[解] (1)幸运之星先在甲箱中抽，选定幸运之星，再在两箱内各抽一名幸运观众有30×29×20=17 400(种).
(2)幸运之星先在乙箱中抽取，有20×19×30=11 400(种).
共有不同结果17 400+11 400=28 800(种).
[B级 能力提升练]
一、填空题
1.如图1015所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通，今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种.
图1015
[解析] 四个焊点共有24种情况，其中使线路通的情况有：1、4都通，2和3至少有一个通时线路才通，共有3种可能.故不通的情况有24-3=13(种)可能.
[答案] 13
2.由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有________个.
[解析] 由0,1,2,3可组成的四位数共有3×43=192(个)，其中无重复数字的四位数共有3A=18(个).
有重复数字的四位数有192-18=174(个).
[答案] 174
二、解答题
3.设集合Pn={1,2，…，n}，nN*，记f(n)为同时满足下列条件的集合A的个数：
A⊆Pn;若xA，则2xA;若xPnA，则2xPnA.
(1)求f(4);
(2)求f(n)的解析式(用n表示).
[解] (1)当n=4时，符合条件的集合A为：{2}，{1,4}，{2,3}，{1,3,4}，故f(4)=4.
(2)任取偶数xPn，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2，…，经过k次以后，商必为奇数，此时记商为m，于是x=m·2k，其中m为奇数，kN*.
由条件知，若mA，则xA⇔k为偶数;
若mA，则xA⇔k为奇数.
于是x是否属于A由m是否属于A确定.设Qn是Pn中所有奇数的集合，因此f(n)等于Qn的子集个数.当n为偶数(或奇数)时，Pn中奇数的个数是，
所以f(n)=
