[A级 基础达标练]
一、填空题
1.(2014·苏州调研)已知双曲线x2-=1(m>0)的离心率为2，则m的值为________.
[解析] a2=1，b2=m，c=，e===2，m=3.
[答案] 3
2.(2014·苏锡常镇四市调研)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线-=1的一个焦点为(5,0)，则实数m=________.
[解析] 由题设知a2=9，b2=m，9+m=25，m=16.
[答案] 16
3.(2014·苏州四市期末检测)已知双曲线-=1的一条渐近线方程为2x-y=0，则该双曲线的离心率为________.
[解析] 由题意得=2，b=2a，c2=a2+b2=a2+4a2=5a2，
c=a，e==.
[答案]
4.(2014·南通、扬州、泰州、连云港、淮安五市调研)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的离心率为，且过点(1，)，则曲线C的标准方程为________.
[解析] 由离心率>1知曲线C是双曲线.双曲线的离心率为，该双曲线为等轴双曲线，
设双曲线方程为x2-y2=m，将点(1，)坐标代入，得1-2=m，
m=-1故双曲线方程为y2-x2=1.
[答案] y2-x2=1
5.(2014·徐州市、宿迁市质检)已知点P(1,0)到双曲线C：-=1(a>0，b>0)的一条渐近线的距离为，则双曲线C的离心率为________.
[解析] 渐近线方程为y=±x即bx±ay=0，=，整理得=，故e= = =.
[答案]
6.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率e=2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线C的方程为________.
[解析] 依题意c-a=1，
又e==2，即c=2a，
由联立，得a=1，c=2.
b2=c2-a2=3，故双曲线C为x2-=1.
[答案] x2-=1
7.(2014·泰州期末检测)已知双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P.若PF1F2=30°，则该双曲线的离心率为________.
[解析] 因为以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，故F1PF2=90°，又PF1F2=30°，F1F2=2c，PF1=c，PF2=c，由双曲线的定义知2a=PF1-PF2=(-1)c，e===+1.
[答案] +1
8.(2014·盐城模拟)若圆x2+y2=r2过双曲线-=1的右焦点F，且圆与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为点A，B，当四边形OAFB为菱形时，双曲线的离心率为________.
[解析] 由题意，得OA=OF=AF，=tan =，
e= =2.
[答案] 2
二、解答题
9.根据下列条件，求双曲线的标准方程.
(1)虚轴长为12，离心率为;
(2)焦距为26，且经过点M(0,12).
(3)经过两点P(-3,2)和Q(-6，-7).
(4)右焦点为(，0)且与双曲线-=1有相同的渐近线.
[解] (1)设双曲线的标准方程为
-=1或-=1(a>0，b>0).
由题意知：2b=12，e==.
b=6，c=10，a=8.
双曲线的标准方程为-=1或-=1.
(2)双曲线经过点M(0,12)，M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a=12.
又2c=26，c=13.b2=c2-a2=25.
双曲线的标准方程为-=1.
(3)设双曲线方程为mx2-ny2=1(mn>0).
解得
双曲线的标准方程为-=1
(4)双曲线C与C′：-=1有相同的渐近线，
设双曲线C的方程为-=λ(λ≠0).
则双曲线C：-=1，
又双曲线C的右焦点为(，0)，
c=，则4λ+16λ=5，λ=.
故所求双曲线C的方程为x2-=1.
10.已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，一条渐近线的倾斜角为，点(-4，-6)在双曲线上，直线l的方程为x-my-4=0.
(1)求双曲线的方程;
(2)若l与双曲线的右支相交于A，B两点，试证：以AB为直径的圆M必与双曲线的右准线相交.
[解] (1)由题意，设双曲线的方程为3x2-y2=λ，
点(-4，-6)在双曲线上，λ=3×42-62=12，
故所求双曲线的方程为-=1.
(2)由l的方程为x-my-4=0，且l过双曲线的右焦点F(4,0)，
设AB的中点为M.A，B，M在右准线上的射影分别为A1，B1，M1，
则==e=2，
所以=2，即=AA1+BB1，
所以圆M的半径R=2MM1=2d，所以d=R0，b>0)与直线y=x无交点，则离心率e的取值范围是________.
[解析] 因为双曲线的渐近线为y=±x，
要使直线y=x与双曲线无交点，则直线y=x应在两渐近线之间.
所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，
c2-a2≤3a2，则c2≤4a2，故10，b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为____________.
[解析] 设PF1的中点为M，由|PF2|=|F1F2|得F2MPF1，由F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，知|F2M|=2a，在RtF1F2M中，|F1M|==2b，故|PF1|=4b.根据双曲线的定义，得4b-2c=2a即2b-a=c，(2b-a)2=c2=a2+b2，3b=4a，
双曲线的渐近线方程为y=±x，即y=±x即4x±3y=0
[答案] 4x±3y=0
