一、选择题
1.(2013·常德市模拟)设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，且m、nα，则“αβ”是“mβ且nβ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] m、nα，αβ⇒m∥β且nβ;若mβ，nβ，mα，nα，则当m与n相交时，αβ，否则αβ不成立，故选A.
2.过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2+y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )
A.x+y-2=0 B.y-1=0
C.x-y=0 D.x+3y-4=0
[答案] A
[解析] 本题主要考查了过圆内一点最短弦问题及点斜式方程的求法.
两部分的面积之差最大是指直线与圆相交弦长最短时，此时直线与OP垂直(如图所示)，kOP=1，则所求直线斜率为-1.故所求直线方程为y-1=-(x-1)即x+y-2=0.
3.(文)(2014·衡水中学模拟)若{an}是等差数列，首项a1>0，a2011+a2012>0，a2011·a2012<0，则使前n项和Sn>0成立的最大正整数n是( )
A.2011 B.2012
C.4022 D.4023
[答案] C
[解析] a2011+a2012>0，a2011·a2012<0，a1>0，
a2011>0，a2012<0，S4022>0，S4023<0，选C.
(理)(2014·郑州市质检)等差数列{an}中的a1、a4027是函数f(x)=x3-4x2+12x+1的极值点，则log2a2014( )
A.2 B.3 C.4 D.5
[答案] A
[解析] f′(x)=x2-8x+12=0则x1=2，x2=6，即a1=2，a4027=6或a1=6，a4027=2，a2014==4
log2a2014=2，故选A.
4.(2014·东北三省三校二模)设函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意xR都有f′(x)>f(x)成立，则( )
A.f(ln2014)<2014f(0)
B.f(ln2014)=2014f(0)
C.f(ln2014)>2014f(0)
D.f(ln2014)与2014f(0)的大小关系不确定
[答案] C
[解析] 令g(x)=，则
g′(x)==>0，
g(x)为增函数，ln2014>0，g(ln2014)>g(0)，
即>，
f(ln2014)>2014f(0)，故选C.
5.将正奇数1,3,5,7，…排成五列(如下表)，按此表的排列规律，89所在的位置是( )
A.第一列 B.第二列
C.第三列 D.第四列
[答案] D
[解析] 正奇数从小到大排，则89位居第45位，而45=4×11+1，故89位于第四列.
6.观察下图：
则第( )行的各数之和等于20112.( )
A.2010 B.2009
C.1006 D.1005
[答案] C
[解析] 由题设图知，第一行各数和为1;第二行各数和为9=32;第三行各数和为25=52;第四行各数和为49=72;…，第n行各数和为(2n-1)2，令2n-1=2011，解得n=1006.
[点评] 观察可见，第1行有1个数，第2行从2开始有3个数，第3行从3开始有5个数，第4行从4开始有7个数，…，第n行从n开始，有2n-1个数，因此第n行各数的和为n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)==(2n-1)2.
二、填空题
7.(文)(2013·眉山二诊)已知2+=22×，3+=32×，4+=42×，…，若9+=92×(a、b为正整数)，则a+b=________.
[答案] 89
[解析] 观察前三式的特点可知，3=22-1,8=32-1,15=42-1，故其一般规律为n+=n2×，此式显然对任意nN，n≥2都成立，故当n=9时，此式为9+=81×，a=80，b=9，a+b=89.
(理)(2013·陕西理，14)观察下列等式
12=1，
12-22=-3，
12-22+32=6，
12-22+32-42=-10，
……
照此规律，第n个等式可为________.
[答案] 12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1·(nN*)
[解析] 观察上述各式等号左边的规律发现，左边的项数每次加1，故第n个等式左边有n项，每项所含的底数的绝对值也增加1，依次为1,2,3…n，指数都是2，符号成正负交替出现可以用(-1)n+1表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为
(-1)n+1·，所以第n个式子可为12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1·(nN*).
8.(2014·哈三中二模)对称数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等，显然2位对称数有9个;11,22,33，…，99,3位对称数有90个，101,111,121，…，191,202，…，999，则2n+1(nN*)位对称数有________个.
[答案] 9×10n
[解析] 易知对称数的位数与个数如表：
位数 2 3 4 5 … 个数 9 90 90 900 … 2n+1倍对称数有9×10n个.
9.(文)(2014·东北三省三校二模)观察下列等式：13=12,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102，…，根据上述规律，第n个等式为______________.
[答案] 13+23+…+n3=
[解析] 本题考查归纳推理，等式左边是连续n个正整数的立方和，右边的数都是整数的平方，由于1=1,1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10，第n个等式右边是(1+2+3+…+n)2，即[]2，
故填13+23+…+n3=.
(理)(2014·石家庄模拟)已知数列{an}：，，，，，，，，，，…，根据它的前10项的规律，则a99+a100的值为________.
[答案]
[解析] 由前10项的构成规律知，分子分母和为n+1(nN*)的共有n项，从和为2到和为n+1的最后一项，共有1+2+3+…+n=项，当n=13时，=91，n=14时，=105，因此a99和a100分别为和为15的第8项和第9项，a99+a100=+=.
三、解答题
10.(文)已知函数f(x)=+lnx(aR)，当x=1时，函数y=f(x)取得极小值.
(1)求a的值;
(2)证明：若x(0，)，则f(x)>-x.
[解析] (1)函数f(x)的定义域为(0，+∞)，
f ′(x)=-+=.
x=1时函数y=f(x)取得极小值，
f ′(1)=0，a=1.
当a=1时，在(0,1)内f ′(x)<0，在(1，+∞)内f ′(x)>0，
x=1是函数y=f(x)的极小值点，满足题意.
a=1.
(2)证明：f(x)>-x等价于：f(x)+x>
令g(x)=f(x)+x，则g ′(x)=+1=，
令h(x)=x2+x-1.
h(0)=-1<0，h()=-<0，
0g()，即g(x)>2-ln2+=+(1-ln2)>，f(x)>-x.
(理)(2014·沈阳市质检)已知函数f(x)=mx-sinx，g(x)=axcosx-2sinx(a>0).
(1)若函数y=f(x)是(-∞，+∞)上的单调递增函数，求实数m的最小值;
(2)若m=1，且对于任意x[0，]，都有不等式f(x)≥g(x)成立，求实数a的取值范围.
[解析] (1)函数f(x)=mx-sinx在R上单调递增，
f′(x)≥0恒成立，
f′(x)=m-cosx，
m≥cosx，mmin=1.
(2)m=1，函数f(x)=x-sinx，
f(x)≥g(x)，x+sinx-axcosx≥0，
对于任意x[0，]，令H(x)=x+sinx-axcosx，
则H′(x)=1+cosx-a(cosx-xsinx)=1+(1-a)cosx+axsinx.
当1-a≥0时，即00，
H(x)在[0，]上为单调增函数，
H(x)≥H(0)=0符合题意，01时，令h(x)=1+(1-a)cosx+axsinx，
于是h′(x)=(2a-1)sinx+axcosx，
a>1，2a-1>0，h′(x)≥0，
h(x)在[0，]上为单调增函数，
h(0)≤h(x)≤h()，即2-a≤h(x)≤a+1，
2-a≤H′(x)≤a+1.
()当2-a≥0，即12时，存在x0(0，)，使得当x(0，x0)时，有H′(x)<0，
此时H(x)在(0，x0)上为单调减函数，
从而H(x)0恒成立.
综上所述，实数a的取值范围为00，f(b)=(b-c)(b-a)<0，f(c)=(c-a)(c-b)>0，由零点存在性定理知，选A.
(理)(2014·山东理，4)用反证法证明命题“设a、b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A.方程x3+ax+b=0没有实根
B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根
C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根
D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根
[答案] A
[解析] 至少有一个实根的否定为：没有实根.
12.(文)正方形ABCD的边长是a，依次连接正方形ABCD各边中点得到一个新的正方形，再依次连接新正方形各边中点又得到一个新的正方形，依次得到一系列的正方形，如图所示.现有一只小虫从A点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段.则这10条线段的长度的平方和是( )
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
[答案] A
[解析] 由题可知，这只小虫爬行的第一段长度的平方为a=(a)2=a2，第二段长度的平方为a=(a)2=a2，…，从而可知，小虫爬行的线段长度的平方可以构成以a=a2为首项，为公比的等比数列，所以数列的前10项和为S10==.
(理)对于大于1的自然数m的三次幂可以用技术进行以下方式的“分裂”：23=，33=，43=，…，仿此，若m3的“分裂数”中有一个是59，则m=( )
A.7 B.8 C.9 D.10
[答案] B
[解析] 由23,33,43的“分裂”规律可知m3的分裂共有m项，它们都是连续的奇数，其第一个奇数为(m-2)(m+1)+3，当m=8时，第一个奇数为57，故m=8，此时83=57+59+61+63+65+67+69+71.
13.已知正三角形内切圆的半径是其高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是( )
A.正四面体的内切球的半径是其高的
B.正四面体的内切球的半径是其高的
C.正四面体的内切球的半径是其高的
D.正四面体的内切球的半径是其高的
[答案] C
[解析] 原问题的解法为等面积法，即S=ah=3×arr=h，类比问题的解法应为等体积法，V=Sh=4×Srr=h，即正四面体的内切球的半径是其高的，所以应选C.
14.已知p3+q3=2，求证p+q≤2，用反证法证明时，可假设p+q≥2，已知a、bR，|a|+|b|<1，求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下结论正确的是( )
A.与的假设都错误
B.与的假设都正确
C.的假设正确;的假设错误
D.的假设错误;的假设正确
[答案] D
[解析] 反证法的实质是命题的等价性，因为命题p与命题的否定¬p真假相对，故直接证明困难时，可用反证法.故选D.
15.(2014·邯郸市模拟)已知直线y=k(x+1)(k>0)与函数y=|sinx|的图象恰有四个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)其中x10)与y=|sinx|图象恰有四个公共点，如图
当x(π，2π)时，函数y=|sinx|=-sinx，y′=-cosx.
依题意，切点为(x4，y4)，k=-cosx4，
又x(π，2π)时，|sinx4|=-sinx4
y4=k(x4+1)，即-sinx4=(-cosx4)·(x4+1)，
sinx4=(x4+1)cosx4，故选B.
二、填空题
16.(文)(2014·新课标理，14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市;
乙说：我没去过C城市;
丙说：我们三人去过同一个城市.
由此可判断乙去过的城市为________.
[答案] A
[解析] 由于甲没去过B城市，且比乙去过的城市多，因此甲最多去过两个城市，因此甲去过A、C城市，又乙没去过C城市，三人去过同一城市，则该城市甲必去过，故只能是A城市.
(理)(2014·河北衡水中学二调)椭圆中有如下结论：椭圆+=1(a>b>0)上斜率为1的弦的中点在直线+=0上，类比上述结论：双曲线-=1(a，b>0)上斜率为1的弦的中点在直线________上.
[答案] -=0
[解析] 椭圆+=1(a>0，b>0)上斜率为1的弦的中点在直线+=0上.类比上述结论可知，双曲线-=1(a>0，b>0)上斜率为1的弦的中点在直线-=0上.
17.(文)(2013·哈尔滨质检)对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数.例如：[1]=1，[2.5]=2.那么[log21]+[log22]+[log23]+[log24]+…+[log21024]=________.
[答案] 8204
[解析] 依题意，当2k≤n<2k+1(kN)时，k≤log2nx2+y2+xy=a2，
c>a，又a2=x2+xy+y2>xy=b2，a>b，c>a>b，
x+y+>显然成立，
<1，
c-a=x+y-=<=b，
a+b>c.
即p=1时，存在以a、b、c为三边长的三角形.
