一、选择题
1.已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( )
A.(，2) B.(1，+∞)
C.(1,2) D.(，1)
[答案] C
[解析] 由题意可得，2k-1>2-k>0，
即解得10，b>0)的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A、B两点，若线段AB的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为( )
A.1 B.1/2
C. 1/3 D.2
[答案] A
[解析] 依题意得=2c，c2-ac-a2=0，即e2-e-1=0，(e-)2=，又e>1，因此e-=，e=，故选A.
(理)(2013·新课标理，4)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
[答案] C
[解析] e== =
b2=a2-a2=
=，即渐近线方程为y=±x.
3.(文)(2013·湛江测试)从抛物线y2=8x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则PFM的面积为( )
A.5 B.6
C.10 D.5
[答案] A
[解析] 抛物线的焦点F(2,0)，准线方程为x=-2.设P(m，n)，则|PM|=m+2=5，解得m=3.代入抛物线方程得n2=24，故|n|=2，则SPFM=|PM|·|n|=×5×2=5.
(理)(2013·德州模拟)设F1、F2分别是椭圆E：x2+=1(00，b>0)的左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为9a，则双曲线的离心率为( )
A.2 B.5 C.3 D.2或5
[答案] B
[解析] 由双曲线定义得|PF2|=2a+|PF1|，
==|PF1|++4a，其中|PF1|≥c-a.当c-a≤2a时，y=x+在[c-a，+∞)上为减函数，没有最小值，故c-a>2a，即c>3ae>3，y=x+在[c-a，+∞)上为增函数，故f(x)min=f(c-a)=c-a++4a=9a，化简得10a2-7ac+c2=0，两边同除以a2可得e2-7a+10=0，解得e=5或e=2(舍去).
6.(2014·新乡、许昌、平顶山二调)若双曲线-=1(a>0，b>0)和椭圆+=1(m>n>0)有共同的焦点F1、F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2| ( )
A.m2-a2 B.-
C.(m-a) D. (m-a)
[答案] D
[解析] 不妨设F1、F2分别为左、右焦点，P在双曲线的右支上，由题意得|PF1|+|PF2|=2，|PF1|-|PF2|=2，|PF1|=+，|PF2|=-，故|PF1|·|PF2|=m-a.
二、填空题
7.(2013·安徽理，13)已知直线y=a交抛物线y=x2于A、B两点，若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，则a的取值范围为________.
[答案] a≥1
[解析] 显然a>0，不妨设A(，a)，B(-，a)，C(x0，x)，则=(--x0，a-x)，
=(-x0，a-x)，ACB=90°.
·=(-x0，a-x)·(--x0，a-x)=0.
x-a+(a-x)2=0，则x-a≠0.
(a-x)(a-x-1)=0，a-x-1=0.
x=a-1，又x≥0.
a≥1.
8.(2014·长沙市模拟)设点P是双曲线-=1(a>0，b>0)与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，其中F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为________.
[答案]
[解析] 设|PF2|=m，则|PF1|=2m，|F1F2|==m，因此双曲线的离心率为=.
9.(2014·湖南理，15)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a、b(a0)经过C、F两点，则=________.
[答案] +1
[解析] 由题可得C(，-a)，F(+b，b)，
C、F在抛物线y2=2px上，
∴=+1，故填+1.
三、解答题
10.(文)(2013·厦门质检)已知双曲线的方程是16x2-9y2=144.
(1)求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程;
(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|=32，求F1PF2的大小.
[解析] (1)由16x2-9y2=144得-=1，
a=3，b=4，c=5，
焦点坐标F1(-5,0)，F2(5,0)，离心率e=，渐近线方程为y=±x.
(2)由(1)知||PF1|-|PF2||=6，
cosF1PF2=
=
==0，
F1PF2∈(0,180°)，F1PF2=90°.
(理)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，并且直线y=x+b是抛物线y2=4x的一条切线.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点S(0，-)的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T?若存在，求出点T的坐标;若不存在，请说明理由.
[解析] (1)由消去y得x2+(2b-4)x+b2=0，
因为直线y=x+b与抛物线y2=4x相切，
所以Δ=(2b-4)2-4b2=0，解得b=1.
因为e==，==，a2=2.
故所求椭圆方程为+y2=1.
(2)当l与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程为
x2+(y+)2=()2.
当l与y轴平行时，以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1.
由解得
即两圆相切于点(0,1)，
因此，所求的点T如果存在，只能是(0,1).
事实上，点T(0,1)就是所求的点，证明如下：
当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T(0,1).
若直线l不垂直于x轴，可设直线l的方程为y=kx-，
由消去y得(18k2+9)x2-12kx-16=0.
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
又因为=(x1，y1-1)，=(x2，y2-1)，
所以·=x1x2+(y1-1)(y2-1)
=x1x2+(kx1-)(kx2-)
=(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+
=(1+k2)·-k·+=0，
所以TATB，即以AB为直径的圆恒过点T(0,1)，
所以在坐标平面上存在一个定点T(0,1)满足条件.
11.(文)(2014·唐山市一模)双曲线x2-y2=4左支上一点P(a，b)到直线y=x的距离为， 则a+b= ( )
A.-2 B.2
C.-4 D.4
[答案] A
[解析] 解法1：如图，双曲线-=1的左顶点(-2,0)到直线y=x的距离为，又点(a，b)为双曲线左支上的点，a=-2，b=0，a+b=-2.
解法2：由题意得a+b=-2.
(理)已知点F是双曲线-=1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，ABE是直角三角形，则该双曲线的离心率是( )
A.3 B.2
C. D.
[答案] B
[解析] 因为ABx轴，又已知ABE是直角三角形，且显然AE=BE，所以ABE是等腰直角三角形.所以AEB=90°.所以AEF=45°.所以AF=EF.易知A(-c，)(不妨设点A在x轴上方)，
故=a+c.即b2=a(a+c).得c2-ax-2a2=0，
即e2-e-2=0，解得e=2，或e=-1(舍去).故选B.
12.直线l经过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若AB的中点横坐标为3，则线段AB的长为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
[答案] D
[解析] 焦点F(1,0)，设l：x=my+1，代入y2=4x中得，y2-4my-4=0，y1+y2=4m，AB中点横坐标为3，x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2=6，m=±1，当m=1时，l：y=x-1，代入y2=4x中得x2-6x+1=0，x1=3-2，x2=3+2，|AB|=|x1-x2|=8，由对称性知m=-1时，结论相同.
13.(文)已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1、F2，且它们在第一象限的交点为P，PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若|PF1|=10，双曲线的离心率的取值范围为(1,2).则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A.(，) B.(，)
C.(，) D.(，1)
[答案] C
[解析] 设椭圆的半焦距为c，长半轴长为a，由椭圆的定义及题意知，|PF1|=2a-|PF2|=2a-2c=10，得到a-c-5=0，因为双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，所以1<<2，0，x2>0，
|FA|=x1+2，|FB|=x2+2，x1+2=2x2+4，
x1=2x2+2.
由，得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0，
x1x2=4，x1+x2==-4.
由，得x+x2-2=0，x2=1，x1=4，
-4=5，k2=，k=.
(理)(2014·唐山市二模)已知椭圆C1：+=1(a>b>0)与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是( )
A.[，1) B.[，]
C.[，1) D.[，1)
[答案] C
[解析] 如图，设切点为A、B，则OAPA，OBPB，APB=90°，连结OP，则APO=45°，AO=PA=b，OP=b，a≥b，a2≤2c2，≥，e≥，又e<1，≤e<1.
15.(2014·安徽理，14)若F1、F2分别是椭圆E：x2+=1(00)的准线与x轴交于点M，过点M作直线l交抛物线于A、B两点.
(1)若线段AB的垂直平分线交x轴于N(x0,0)，求证：x0>3p;
(2)若直线l的斜率分别为p，p2，p3，…时，相应线段AB的垂直平分线与x轴的交点依次为N1，N2，N3，…，当00，得0p+2p=3p，x0>3p.
(2)∵l的斜率分别为p，p2，p3，…时，对应线段AB的中垂线与x轴交点依次为N1，N2，N3，…(0b>0)的上、下顶点分别为A、B，已知点B在直线l：y=-1上，且椭圆的离心率e=.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PQy轴，Q为垂足，M为线段PQ的中点，直线AM交直线l于点C，N为线段BC的中点，求证：OMMN.
[解析] (1)依题意，得b=1.
e==，a2-c2=b2=1，a2=4.
椭圆的标准方程为+y2=1.
(2)证明：设P(x0，y0)，x0≠0，则Q(0，y0)，且+y=1.
M为线段PQ中点，M(，y0).
又A(0,1)，直线AM的方程为y=x+1.
x0≠0，y0≠1，令y=-1，得C(，-1).
又B(0，-1)，N为线段BC的中点，
N(，-1).
=(-，y0+1).
·=(-)+y0·(y0+1)
=-+y+y0
=(+y)-+y0=1-(1+y0)+y0=0，
OM⊥MN.
(理)已知椭圆C：+y2=1(a>1)的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：(x-3)2+(y-1)2=3相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若不过点A的动直线l与椭圆C交于P、Q两点，且·=0.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.
[解析] (1)A(0,1)，F(，0)，
直线AF：+y=1，
即x+y-=0，
AF与M相切，圆心M(3,1)，半径r=，
=，a=，
椭圆的方程为+y2=1.
(2)由·=0知APAQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，故可设直线AP的方程为y=kx+1，直线AQ的方程为y=-x+1，
将y=kx+1代入椭圆C的方程，
整理得(1+3k2)x2+6kx=0，
解得x=0或x=，
故点P的坐标为(，).
同理，点Q的坐标为(，).
所以直线l的斜率为=.
则直线l的方程为y=(x-)+，
即y=x-.
所以直线l过定点(0，-).
