一、选择题
1.若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°,则l1与l2这两条异面直线所成的角等于( )
A.30° B.150°
C.30°或150° D.以上均错
2.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,M,N分别为A1B1和BB1的中点,那么异面直线AM与CN所成角的余弦值为( )
A. 2B. 1C.2/3 D.1/4
3.如果二面角α—l—β的平面角是锐角,点P到α,β和棱l的距离分别为2,4和4,则二面角的大小为( )
A.45°或30° B.15°或75°
C.30°或60° D.15°或60°
4.从点P引三条射线PA、PB、PC,每两条夹角均为60°,则二面角B—PA—C的余弦值是( )
A.1/2 B.1/3 C.3 D.1
5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为( )
A.2 B.1/2 C.2/3 D.1
6.长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为( )
A.1 B. 2C. 1/2 D.3
二、填空题
7.若两个平面α,β的法向量分别是n=(1,0,1),ν=(-1,1,0).则这两个平面所成的锐二面角的度数是________.
8.如图,
已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各条棱长都相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________.
9.已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC上的射影为BC的中点,则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为________.
三、解答题
10.长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=4,BC=BB1=2,E,F分别是面A1B1C1D1与面B1BCC1的中心,求异面直线AF与BE所成角的余弦值.
11.
在三棱锥S—ABC中,SAB=SAC=ACB=90°,AC=2,BC=4,SB=4.
(1)证明:SCBC;
(2)求二面角A—BC—S的大小.
能力提升
12.
如图所示,在正三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=AA1,点D是A1B1的中点,点E在A1C1上,且DEAE.求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值.
13.
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,AA1=AB,D为BB1的中点,E为AB1上的一点,AE=3EB1.
(1)证明:DE为异面直线AB1与CD的公垂线;
(2)设异面直线AB1与CD的夹角为45°,求二面角A1-AC1-B1的余弦值.
1.[0,] 方向向量 φ π-φ
2.[0,π] 法向量 相等或互补
作业设计
1.A
2.D
[如图所示,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),
M,C(0,1,0),
N.
∴=,=.
∴·=,||==||.
∴cos〈,〉==.]
3.B [如图(1),(2)所示,分别是P在二面角α—l—β的内部、外部时的情况.因为PA⊥α,所以PA⊥l,因为PC⊥l,所以l⊥面PAC,同理,l⊥面PBC,而面PAC与面PBC有公共点,所以面PAC和面PBC应重合,即A,B,C,P在同一平面内,∠ACB是二面角的平面角.
在Rt△APC中,sin∠ACP===,所以∠ACP=30°.在Rt△BPC中,sin∠BCP===,所以∠BCP=45°,故∠ACB=30°+45°=75°(图(1)),或∠ACB=45°-30°=15°(图(2)).]
图(1) 图(2)
4.B [在射线PA上取一点O,分别在平面PAB、PAC内作OE⊥PA,OF⊥PA交PB、PC于E、F,则∠EOF为所求二面角的平面角.
△EOF中,令EF=1,则由题意可求得,OE=OF=,∴cos∠EOF==.]
5.B
[建立如图所示的坐标系,设正方体的棱长为1,
则=(1,0,1),=(1,1,).
设平面A1DE的法向量n1=(x,y,z),
则解得
令z=1,n1=(-1,,1)
平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1),
cos〈n1,n2〉==.]
6.B [
建立坐标系如图.
则A(1,0,0),E(0,2,1),
B(1,2,0),C1(0,2,2).
=(-1,0,2),=(-1,2,1),
cos〈,〉==.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.]
7.60°
解析 cos〈n,ν〉===-,
〈n,ν〉=120°.故两平面所成的锐二面角为60°.
8.90°
解析
建立如图所示的坐标系,设正三棱柱的棱长为1,则B,
M,
B1,
因此=,=,设异面直线AB1与BM所成的角为θ,
则cos θ=|cos〈,〉|==0,
θ=90°.
9.
解析 建立
如图所示的空间直角坐标系,设AB=1.因为A1D平面ABC,ADBC,由AD=,AA1=1知A1D=.
故A1.又A,B,
=,=,
cos〈,〉=.
又CC1∥AA1,cos〈,〉=cos〈,〉.
故异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为.
10.解 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(2,0,0),B(2,4,0),
C1(0,4,2),A1(2,0,2),
E(1,2,2),F(1,4,1),
=(-1,4,1),
=(-1,-2,2),
||==3,||==3,
·=1-8+2=-5,
cos〈,〉==-.
异面直线所成角的范围是,
设AF与BE所成角为θ,
则cos θ=|cos〈,〉|=.
11.(1)证明 由已知SAB=SAC=ACB=90°,以C点为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,2,0),B(4,0,0),C(0,0,0),S(0,2,2),
则=(0,-2,-2),
=(-4,0,0),
·=0,SC⊥BC.
(2)解 SAB=SAC=90°,SA⊥平面ABC,
=(0,0,2)是平面ABC的法向量.
设侧面SBC的法向量为n=(x,y,z),
=(0,-2,-2),=(-4,0,0).
·n=0,·n=0,
∴x=0.令z=1,则y=-,
则得平面SBC的一个法向量n=(0,-,1),
cos〈,n〉===,
即二面角A—BC—S的大小为60°.
12.解 如图所示,
设O是AC的中点,以O为原点建立空间直角坐标系,不妨设AA1=,则AB=2,相关各点的坐标分别是A(0,-1,0),B(,0,0),C1(0,1,),
D.易知=(,1,0),
=(0,2,),=(,,).
设平面ABC1的一个法向量为n=(x,y,z),则有
解得x=-y,z=-y,
故可取n=(1,-,).
所以cos〈n,〉===.
由此可知,直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为.
13.(1)证明 以B为坐标原点,射线BA、BB1为x轴正半轴、y
轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设AB=2,则A(2,0,0),
B1(0,2,0),D(0,1,0),E(,,0).又设C(1,0,c),则=(,,0),=(2,-2,0),=(1,-1,c).
于是·=0,·=0,故DEB1A,DEDC,又DE∩AB1=E,CD∩DE=D.
所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线.
(2)解 因为〈,〉等于异面直线AB1与CD的夹角,故·=|B1A||cos 45°,
即2××=4.
解得c=,故=(-1,0,).
又==(0,2,0),
所以=+=(-1,2,).
设平面AA1C1的法向量m=(x,y,z),
则m·=0,m·=0,
即-x+2y+z=0,2y=0.
令x=,则z=1,y=0.
故m=(,0,1).
设平面AB1C1的法向量为n=(p,q,r),
则n·=0,n·=0,
即-p+2q+r=0,2p-2q=0,
令p=,则q=,r=-1.
故n=(,,-1).
所以cos〈m,n〉==.
由于〈m,n〉等于二面角A1-AC1-B1的平面角,
所以二面角A1-AC1-B1的余弦值为.