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2015年北京高考数学章节专题28_第2页

中华考试网  2015-03-09  【

  1.C

  2.B [·=0,·=0,⊥,,即SBSC,SASC,又SB∩SA=S,

  SC⊥平面SAB,SBC为BC与平面SAB的夹角.又SBC=60°,故BC与平面SAB的夹角为60°.]

  3.B

  4.A [A1B1平面BCC1B1,故A1B1MN,

  则·=(+)·

  =·+·=0,

  MP⊥MN,即PMN=90°.

  也可由三垂线定理直接得MPMN.]

  5.B [当直线l的方向向量ν与平面α的法向量n的夹角〈n,ν〉小于90°时,直线l与平面α所成的角与之互余.]

  6.A [

  如图所示,以O为原点建立空间直角坐标系.

  设OD=SO=OA=OB=OC=a,

  则A(a,0,0),B(0,a,0),

  C(-a,0,0),P.

  则=(2a,0,0),=,=(a,a,0).

  设平面PAC的法向量为n,可求得n=(0,1,1),

  则cos〈,n〉===.

  〈,n〉=60°,直线BC与平面PAC所成的角为90°-60°=30°.]

  7.

  解析 不妨设正三棱柱ABC—A1B1C1的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系(x轴垂直于AB),

  则C(0,0,0),A(,-1,0),B1(,1,2),D,

  则=,=(,1,2),设平面B1DC的法向量为n=(x,y,1),

  由解得n=(-,1,1).

  又=,

  sin θ=|cos〈,n〉|=.

  8.30°

  9.

  解析 在正三棱柱ABC—A1B1C1中取AC的中点O,OBAC,则OB平面ACC1A1,

  BC1O就是BC1与平面AC1的夹角.

  以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,

  则O(0,0,0),B,

  C1,

  =,=.

  cos〈,〉=

  ===.

  〈,〉=,即BC1与平面ACC1A1的夹角为.

  10.解 如图,以O点为原点建立空间直角坐标系,

  则B(3,0,0),D.

  设P(3,0,z),则=,=(3,0,z).

  BD⊥OP,·

  =-+4z=0,z=.

  P.∵BB′⊥平面AOB,

  POB是OP与底面AOB所成的角.

  tan∠POB==,

  故OP与底面AOB所成角的正切值为.

  11.解 由题设条件知,可建立以AD为x轴,AB为y轴,AS为z轴的空间直角坐标系(如图所示).

  设AB=1,则A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),

  D,S(0,0,1).

  =(0,0,1),

  =(-1,-1,1).

  显然是底面的法向量,它与已知向量的夹角β=90°-θ,

  故有sin θ=|cos β|===,

  于是cos θ==.

  12.(1)证明 依题设,M在以BD为直径的球面上,

  则BMPD.

  因为PA底面ABCD,AB底面ABCD,

  则PAAB.

  又ABAD,PA∩AD=A,所以AB平面PAD,

  则ABPD,又BM∩AB=B.

  因此有PD平面ABM,又PD平面PCD.

  所以平面ABM平面PCD.

  (2)解

  如图所示,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),

  P(0,0,4),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),M(0,2,2),

  设平面ABM的一个法向量n=(x,y,z),

  由n,n

  可得

  令z=-1,则y=1,即n=(0,1,-1).

  设所求角为α,则sin α==,

  故所求的角的正弦值为.

  13.

  (1)证明 设PA=1,以A为原点,AB,AC,AP所在直线分别为x,y,z轴正向建立空间直角坐标系如图所示,

  则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1,0,),

  N(,0,0),S(1,,0).

  所以=(1,-1,),=(-,-,0).

  因为·=-++0=0,

  所以CMSN.

  (2)解 =(-,1,0),

  设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,则

  即令x=2,得a=(2,1,-2).

  因为|cos〈a,〉|===,所以SN与平面CMN所成的角为45°.

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