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2015年北京高考数学章节专题13

中华考试网  2015-03-05  【

  1.角的单位制

  (1)角度制:规定周角的____________为1度的角,用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.

  (2)弧度制:把长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,记作________.

  (3)角的弧度数求法:如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l,那么l,α,r之间存在的关系是:__________;这里α的正负由角α的______________决定.正角的弧度数是一个________,负角的弧度数是一个______,零角的弧度数是____.

  2.角度制与弧度制的换算

  角度化弧度 弧度化角度 360°=______ rad 2π rad=________ 180°=____ rad π rad=______ 1°=________rad

  ≈0.017 45 rad 1 rad=____________

  ≈57.30°=57°18′ 3.扇形的弧长及面积公式

  设扇形的半径为R,弧长为l,α (0<α<2π)为其圆心角,则

  α为角度制 α为弧度制 扇形的弧长 l=________ l=____ 扇形的面积 S=____ S=____=______

  一、选择题

  1.集合A=与集合B=的关系是(  )

  A.A=B B.AB

  C.BA D.以上都不对

  2.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长是(  )

  A.2 B.sin 2 C. D.2sin 1

  3.扇形周长为6 cm,面积为2 cm2,则其中心角的弧度数是(  )

  A.1或4 B.1或2 C.2或4 D.1或5

  4.已知集合A={α|2kπ≤α≤(2k+1)π,kZ},B={α|-4≤α≤4},则A∩B等于(  )

  A.

  B.{α|-4≤α≤π}

  C.{α|0≤α≤π}

  D.{α|-4≤α≤-π,或0≤α≤π}

  5.把-π表示成θ+2kπ(kZ)的形式,使|θ|最小的θ值是(  )

  A. B.- C.π D.-π

  6.扇形圆心角为,半径长为a,则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为(  )

  A.13 B.23 C.43 D.49

  二、填空题

  7.将-1 485°化为2kπ+α (0≤α<2π,kZ)的形式是________.

  8.若扇形圆心角为216°,弧长为30π,则扇形半径为____.

  9.若2π<α<4π,且α与-角的终边垂直,则α=______.

  10.若角α的终边与角的终边关于直线y=x对称,且α(-4π,4π),则α=________________.

  三、解答题

  11.把下列各角化成2kπ+α (0≤α<2π,kZ)的形式,并指出是第几象限角:

  (1)-1 500°;(2)π;(3)-4.

  12.已知一扇形的周长为40 cm,当它的半径和圆心角取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?

  能力提升

  13.已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长,那么其圆心角的弧度数的绝对值为________.

  14.已知一扇形的中心角是α,所在圆的半径是R.

  (1)若α=60°,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积;

  (2)若扇形的周长是一定值c (c>0),当α为多少弧度时,该扇形有最大面积?

  1.角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.

  2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°=π”这一关系式.易知:度数×=弧度数,弧度数×=度数.

  3.在弧度制下,扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化,具体应用时,要注意角的单位取弧度.§3 弧度制知识梳理

  1.(1) (2)半径长 1 rad (3)|α|= 终边的旋转方向 正数 负数 0 2.2π 360° π 180°  ° 3. αR  αR2 lR

  作业设计

  1.A

  2.C [r=,l=|α|r=.]

  3.A [设扇形半径为r,圆心角为α,

  则,解得或.]

  4.C [集合A限制了角α终边只能落在x轴上方或x轴上.]

  5.D [-π=-2π+,

  θ=-π.]

  6.B [设扇形内切圆半径为r,

  则r+=r+2r=a.a=3r,S内切=πr2.

  S扇形=αr2=××a2=××9r2=πr2.

  S内切S扇形=23.]

  7.-10π+π

  解析 -1 485°=-5×360°+315°,

  -1 485°可以表示为-10π+π.

  8.25

  解析 216°=216×=,l=α·r=r=30π,r=25.

  9.π或π

  解析 -π+π=π=π,

  -π+π=π=π.

  10.-,-,,

  解析 由题意,角α与终边相同,则+2π=π,

  -2π=-π,-4π=-π.

  11.解 (1)-1 500°=-1 800°+300°=-10π+,

  -1 500°与π终边相同,是第四象限角.

  (2)π=2π+π,

  π与π终边相同,是第四象限角.

  (3)-4=-2π+(2π-4),

  -4与2π-4终边相同,是第二象限角.

  12.解 设扇形的圆心角为θ,半径为r,弧长为l,面积为S,

  则l+2r=40,l=40-2r.

  S=lr=×(40-2r)r=20r-r2

  =-(r-10)2+100.

  当半径r=10 cm时,扇形的面积最大,最大值为100 cm2,

  此时θ===2 rad.

  当半径为10 cm,圆心角为2 rad时,扇形的面积最大,最大面积为100 cm2.

  13.4

  解析 设圆半径为r,则内接正方形的边长为r,圆弧长为4r.

  圆弧所对圆心角|θ|==4.

  14.解 (1)设弧长为l,弓形面积为S弓,

  α=60°=,R=10,l=αR= (cm).

  S弓=S扇-S=××10-×102×sin 60°

  =50 (cm2).

  (2)扇形周长c=2R+l=2R+αR,α=,

  S扇=αR2=··R2=(c-2R)R

  =-R2+cR=-(R-)2+.

  当且仅当R=,即α=2时,扇形面积最大,且最大面积是.

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