自学考试公共类《数论初步》模拟试题及答案1_第4页

　　数论初步参考答案

　　一、单项选择题(本大题共30小题，每小题1分，共30分)

　　1.C 2.D 3.B 4.C 5.D

　　6.A 7.B 8.D 9.C 10.C

　　11.B 12.D 13.B 14.C 15.B

　　16.C 17.D 18.B 19.C 20.C

　　21.B 22.A 23.B 24.D 25.C

　　26.A 27.B 28.B 29.B 30.B

　　二、填空题(本大题共10小题，每小题1分，共10分)

　　31.4

　　32.

　　33.

　　34.1，2，3，…，p-1

　　35.0

　　36.1或2

　　37.499

　　38.1

　　39.193

　　40.8

　　三、计算题(本大题共4小题，每小题8分，共32分)

　　41.解：因所以因此　　即31202的个位数字是9

　　42.解：因为(63，72)=9|27所以原方程有解，且有9个解。

　　从方程两端消去9，有其解为：

故原方程的所有解为即

　　43.解：原式等价于(3，5)=1，1|20，故原方程有整数解。

易知为其一个特解。所以的通解为 ：

从而方程，亦即原方程的全部整数解为 44，解：,(1)-(2)得即因为(2，1)=1，所以有解。不定方程的一个特解为，故其通解为

(3)代入方程(1)，得

　　所以原不定方程组的解为：

　　四、证明题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)

　　45.证明：

　　n为自然数，以上为连续五个整数的乘积，故能被5!整除，即5!|

　　46.证明：

　　(1) 若n为偶数，不妨设n=2k,k为整数4|4k2 但4|2 因此4|4k2+2 即4|n2+2

　　(2)若n为奇数，不妨设n=2k+1,k为整数4| 4k2 ，4|4k 但4|3 因此4| 4k2+4k+3 即4| n2+2 由以上(1)和(2)知，对每一个整数n,4| n2+2

　　五、综合应用题(共12分)

　　证明：f(0)=c，知c为奇数

　　f(1)=1+b+c为奇数

　　由c为奇数，知1+b为偶数，则b为奇数。

　　假设方程f(x)=0有整数根q,

　　则有q2+bq+c=0

　　Ⅰ)当q为偶数时，q2+bq为偶数，而c为奇数，故q2+bq+c为奇数，q2+bq+c≠0，矛盾。

　　Ⅱ) 当q为奇数时，q2为奇数，bq为奇数，所以q2+bq为偶数，q2+bq+c为奇数，故q2+bq+c≠0，亦矛盾

　　由Ⅰ)和Ⅱ)，知,f(x)=0没有整数根。