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证明：方程xn+px+q=0（n为正整数，p，q为实数）

来源：焚题库 [2020-05-31] 【大中小】

类型：学习教育

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问答题证明：方程xⁿ+px+q=0（n为正整数，p，q为实数）当n为偶数时至多有两个实根。

参考答案：证明：设f（x）=xⁿ+px+q，用反证法。
设n=2k（k=1，2，…），假设f（x）=0至少有三个实根x₁，x₂，x₃，不妨设x₁23，则由罗尔中值定理知，存在与ξ₁∈（x₁，x₂），ξ₂∈（x₂，x₃），使得

。但由于幂函数x^2k-1在（-∞，+∞）上严格递增，从而f（x）=2kx^2k^-¹+p也在（-∞，+∞）上严格递增，而ξ₁2<ξ₂，所以f（ξ₁）2）。于是得出矛盾。命题得证。

答案解析：

涉及考点

《数学学科知识与教学能力》（高级中学）

第一章学科知识

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