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罗尔定理，设函数f（x）满足条件

来源：焚题库 [2020-05-06] 【大中小】

类型：学习教育

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问答题罗尔定理，设函数f（x）满足条件：（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；（3）f（a）=f（b），则在（a，b）内至少存在一点，使得f’（ξ）=0。证明这个定理并说明其几何意义。

参考答案：因f（x）在闭区间[a，b]上连续，所以在[a，b]上一定可以取到最大值M和最小值m。
（1）若M=m，则f（x）在[a，b]上是常数f（x）=M，x∈[a，b]。从而f（x）=0，因此，任取ξ∈（a，b）都有f（ξ）=0。
（2）若M≠m，则M，m中至少有一个不等于f（a），不妨设f（a）≠M。因此，函数f（x）在内（a，b）某一点ξ处取到最大值M。我们来证f（ξ）=0。
由于f（x）在ξ处取最大值，所以不论△x为正或为负，总有f（ξ+△x）-f（ξ）≤0。当△x>0时，